Satz 4.25 $($ Identitätssatz für Potenzreihen $)$ Voraussetzungen $:$

$(1)$

Es seien

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

und

\sum b_{n} {(x - a)}^{n}

Potenzreihen mit den Konvergenzradien

ρ_{1}

bzw.

ρ_{2}

und

ρ_{1}, ρ_{2} > 0 .

(2)

(x_{ν})

sei eine Folge mit

x_{ν} \neq a, lim x_{ν} = a

und

| x_{ν} - a | < ρ_{1}, ρ_{2} .

(3)

Für jedes

ν \in I N

gilt

:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} .

Behauptung

:

Für jedes

n

ist

a_{n} = b_{n} .

(D.h., stimmen zwei Potenzreihen in unendlich vielen Punkten

x_{ν}

überein und ist der Mittelpunkt

a

der Potenzreihen wenigstens ein Häufungspunkt dieser Menge, dann stimmen die Reihen schon koeffizientenweise überein, sie sind also identisch.)