Satz 4.25 $($ Identitätssatz für Potenzreihen $)$ Voraussetzungen $:$

$(1)$

Es seien

$\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ und

$\sum b_{n} {(x - a)}^{n}$ Potenzreihen mit den Konvergenzradien

$ρ_{1}$ bzw.

$ρ_{2}$ und

$ρ_{1}, ρ_{2} > 0 .$

$(2)$

$(x_{ν})$ sei eine Folge mit

$x_{ν} \neq a, lim x_{ν} = a$ und

$| x_{ν} - a | < ρ_{1}, ρ_{2} .$

$(3)$

Für jedes

$ν \in I N$ gilt

$:$

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} {(x_{ν} - a)}^{n} .$

Behauptung

$:$ Für jedes

$n$ ist

$a_{n} = b_{n} .$ (D.h., stimmen zwei Potenzreihen in unendlich vielen Punkten

$x_{ν}$ überein und ist der Mittelpunkt

$a$ der Potenzreihen wenigstens ein Häufungspunkt dieser Menge, dann stimmen die Reihen schon koeffizientenweise überein, sie sind also identisch.)