Funktionen sind von grundlegender Bedeutung für fast alle Gebiete der Wissenschaft; sie geben Zusammenhänge zwischen abhängigen veränderlichen Größen an, wie z.B.

• die Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit (an einem fixierten Ort),
• den Druck eines Gases in Abhängigkeit von der Temperatur,
• die Geschwindigkeit eines Massepunktes in Abhängigkeit von der Beschleunigung.

Der allgemeine Funktionsbegriff wurde bereits im ersten Kapitel definiert. Danach sind Funktionen zweistellige Relationen (also Mengen von Paaren), die an der zweiten Stelle eindeutig sind.

5.1 Operationen für Funktionen

In diesem Abschnitt werden eine Reihe von Operationen für Funktionen behandelt, die aber zum Teil nur in Strukturen (in Körpern, Vektorräumen, …) ausgeführt werden können. Zunächst betrachten wir aber zwei wichtige Operationen für Funktionen, die keine Struktur voraussetzen (sondern nur auf Mengen definiert sind), nämlich die Verkettung und die Inversenbildung (falls existent), ehe wir uns den reellwertigen Funktionen einer reellen Veränderlichen zuwenden.

Definition. (Verkettung von Funktionen) Es seien $g:A\to B$ und $f:B\to C$ Funktionen, so daß $W\left(g\right)=g\left(A\right)\subseteq D\left(f\right)$. Die Funktion $h:A\to C$ heißt Verkettung oder Hintereinanderausführung von $f$ und $g$ =Df

Definition. (inverse Funktion) Es sei $f$ injektiv. $g$ ist Umkehrfunktion oder inverse Funktion von $f$ =Df

     Bez.: $g=f^{-1}.$

$$

 

Folgerungen. 1.

2. Es ist stets $D\left(g\right)=W\left(f\right)$ und $W\left(g\right)=D\left(f\right).$

3. $g$ ist invers zu $f\iff f$ ist invers zu $g.$

4.

Wir befassen uns jetzt mit reellwertigen Funktionen einer reellen Veränderlichen.

Definition. $f$ ist eine reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen =Df

Der Graph einer Funktion ist die geometrische Veranschaulichung der Funktion (:= Menge von Paaren) in einem geeigneten Raum mit Koordinatensystem.

Beispiele.

Wir betrachten Funktionen $f,g,h:IR\to IR.$ Der Einfachheit wegen bezeichnen wir in Zukunft die Mengen $\left\{x\in IR:x\ge a\right\}$ auch mit $\left[a,\infty \right)$; analog benutzen wir die Bezeichnungen $\left(a,\infty \right),\left(-\infty ,a\right],\left(-\infty ,a\right).$

1. Sei $f\left(x\right)=x^2$ mit $A:=D\left(f\right)=IR\Rightarrow W\left(f\right)=f\left(A\right)=\left[0,\infty \right)$ (vgl. Abb. 5.4).

2. Sei $g\left(x\right)=\sqrt{x}$ mit $A:=D\left(g\right)=\left[0,\infty \right)\Rightarrow W\left(g\right)=g\left(A\right)=\left[0,\infty \right)$ (vgl. Abb. 5.5).

3. Offenbar ist die Funktion $f$ im Beispiel 1 nicht injektiv. Schränkt man jedoch den Definitionsbereich von $f$ auf $\left[0,\infty \right)$ ein (so erhält man eigentlich eine andere Funktion, die wir aber weiterhin mit $f$ bezeichnen werden), dann ist $f$ injektiv und besitzt eine Umkehrfunktion $f^{-1}$.

Für $f\left(x\right)=x^2$ mit $x\ge 0$ ist

     $y=f\left(x\right)\iff \left(x,y\right)\in f\iff \left(y,x\right)\in f^{-1}.$

Löst man die Gleichung $y=x^2=f\left(x\right)$ nach $x$ auf, so erhält man $x=\sqrt{y}=f^{-1}\left(y\right)$, wobei $y\ge 0$. Will man die Graphen der Funktionen $f$ und $f^{-1}$ mit Hilfe des gleichen (rechtwinkligen) Koordinatensystems veranschaulichen, dann muß man $x$ und $y$ in $y=x^2$ vertauschen und entsprechend nach $y$ auflösen. Dadurch erhält man $y=\sqrt{x}.$ $f^{-1}\left(x\right)$ erweist sich dann als Spiegelung von $f\left(x\right)$ an der Geraden $y=x\left(=I\left(x\right)\right)$.

Wir haben schon gesehen, daß nicht alle Funktionen eine Umkehrfunktion besitzen, sondern nur die injektiven. Wir betrachten jetzt eine wichtige Teilklasse von injektiven Funktionen, nämlich die streng monotonen.

Definition. (monoton, streng monoton) Es sei $f:IR\to IR,M\subseteq IR$ und $M\subseteq D\left(f\right).$

(1)

Analog wie bei Folgen nennen wir (in $M$) monoton wachsende bzw. monoton fallende Funktionen gelegentlich auch kurz monoton in $M$. Ist $f$ im gesamten Definitionsbereich monoton, dann heißt $f$ monoton (ohne Angabe einer Menge).

Beweis. g.z.z.: $f$ ist injektiv, d.h., wenn $x_1\ne x_2$, so $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$. Wenn also $x_1\ne x_2,$ so $x_1<x_2$ oder $x_2<x_1\Rightarrow f\left(x_1\right)><f\left(x_2\right)$ und damit $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right).$   $$

Definition. (rationale Operationen für Funktionen) Es seien $f,g:IR\to IR.$ Summe, Differenz, Produkt und Quotient von $f$ und $g$ sind wie folgt definiert:

(1) $\left(f\pm g\right)\left(x\right)$ =Df $f\left(x\right)\pm g\left(x\right)$ für alle $x\in D\left(f\right)\cap D\left(g\right).$

(2) $\left(f\cdot g\right)\left(x\right)$ =Df $f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$ für alle $x\in D\left(f\right)\cap D\left(g\right).$

(3) $\left(\right.\frac{f}{g}\left)\right.\left(x\right)$ =Df $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ für alle $x\in D\left(f\right)\cap D\left(g\right)$ und $g\left(x\right)\ne 0;$

      folglich ist $D\left(\right.\frac{f}{g}\left)\right.=D\left(f\right)\cap D\left(g\right)\cap \left\{x:g\left(x\right)\ne 0\right\}.$

Bemerkung. Summe, Differenz, Produkt und Quotient sind die rationalen Operationen.

5.2 Stetigkeit

Im folgenden betrachten wir eine besonders wichtige Klasse von Funktionen, nämlich die stetigen Funktionen.

Definition. (Stetigkeit) $f$ ist an der Stelle $a$ (oder kurz in $a$) stetig =Df

Definition. (stetig in einer Menge) Sei $M\subseteq IR.$

(1) $f$ ist stetig in $M$ =Df

Beispiele.

1. $f\left(x\right)=c,D\left(f\right)=IR.$   (vgl. Abb. 5.9)

Sei $a\in IR$ beliebig und $\epsilon >0$. Wir wählen $\delta =\epsilon .$ Dann gilt für alle $x$ mit $|x-a|<\delta :$ $|f\left(x\right)-f\left(a\right)|=|c-c|=0<\epsilon .$

Konstante Funktionen sind also stetig.

2. $f\left(x\right)=x,D\left(f\right)=IR,a\in IR$.   (vgl. Abb. 5.10)

Sei $a\in IR$ beliebig und $\epsilon >0$. Wir wählen wieder $\delta =\epsilon .$ Dann gilt für alle $x$ mit $|x-a|<\delta$ : $|f\left(x\right)-f\left(a\right)|=|x-a|<\delta =\epsilon .$

Folglich ist auch die Identitätsfunktion stetig.

      

3. Es sei $f\left(x\right)=x^2,D\left(f\right)=IR$, $\epsilon >0$ und $a\in IR$ beliebig. Um die Stetigkeit von $f\left(x\right)$ in $a$ nachweisen zu können, haben wir (entsprechend der Definition) für $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ mit den geforderten Eigenschaften zu finden. Es ist

     $|f\left(x\right)-f\left(a\right)|=|x^2-a^2|=|x+a|\cdot |x-a|:=\left(\star \right)$

Sei $\epsilon >0$. Erste Näherung für $\delta$: $0<\delta \le 1.$ Dann ist $|x+a|=|x-a+2a|\le \underset{<\delta \le 1}{\underbrace{|x-a|}}+\left|2a\right|\le 1+\left|2a\right|.$ Folglich ist

     $|f\left(x\right)-f\left(a\right)|=\left(\star \right)\le |x+a|\cdot |x-a|\le \left(1+\left|2a\right|\right)\cdot |x-a|.$

Wählt man jetzt $\delta \le \frac{\epsilon }{1+\left|2a\right|},$ dann ist für $|x-a|<\delta$ auch $|f\left(x\right)-f\left(a\right)|<\epsilon .$

4. $\frac{x^2-1}{x-1}$ ist in $a=1$ nicht stetig, da $f$ an der Stelle $a$ nicht definiert ist.

5. Es sei $$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1\text{ falls }x\ge 0\hfill \\ -1\text{ falls }x<0\hfill \end{array}$$   (vgl. Abb. 5.11)

Behauptung: $f$ ist in $a=0$ nicht stetig. Stetigkeit in $a=0$ formal ausgedrückt bedeutet:

$\forall \epsilon >0\exists \delta >0\forall x\in D\left(f\right)\left(\right.|x-a|<\delta \to |f\left(x\right)-f\left(a\right)|<\epsilon \left)\right..$

Folglich bedeutet Unstetigkeit an dieser Stelle:

$\exists \epsilon >0\forall \delta >0\exists x\in D\left(f\right)\left(\right.|x-a|<\delta \wedge |f\left(x\right)-f\left(a\right)|\ge \epsilon \left)\right..$

Es sei $\epsilon =1$ und $\delta >0$ beliebig. Ist $x\in U_{\delta }\left(0\right)$ mit $-\delta <x<0,$ dann ist $|f\left(x\right)-f\left(0\right)|=|-1-1|=2\ge \epsilon =1.$ Hieraus folgt die Behauptung.

6. Es sei $$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\mathrm{1,}\text{ falls }x\text{ rational}\text{,}\\ \mathrm{0,}\text{ falls }x\text{ irrational}\text{.}\end{array}$$   (vgl. Abb. 5.12)

$f$ ist in keinem Punkt des Definitionsbereiches stetig, denn in jeder $\delta$-Umgebung von $a\in IR$ liegen rationale und irrationale Zahlen. Wählt man z.B. $\epsilon =\frac{1}{2}$ und $\delta >0$ beliebig, dann liegt wenigstens ein Funktionswert $f\left(x\right)$ mit $x\in U_{\delta }\left(a\right)$ und $x$ rational bzw. irrational außerhalb von $U_{\epsilon }\left(f\left(a\right)\right).$

Kriterien für die Stetigkeit

Wir wollen jetzt die schon bekannten Eigenschaften über konvergente Folgen ausnutzen, um damit Ergebnisse über stetige Funktionen zu erzielen.

Definition. (Grenzwert bei Funktionen) Es sei $a$ ein Häufungspunkt von $D\left(f\right)$ ($a$ muß nicht selbst zu $D\left(f\right)$ gehören). $f$ besitzt an der Stelle $a$ den Grenzwert $c$ =Df

     Bez.: $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=c$ oder $f\left(x\right)\underset{x\to a}{\to }c$

Definition. (uneigentlicher Grenzwert) Sei $a$ ein Häufungspunkt von $D\left(f\right).$ $f$ hat an der Stelle $a$ den uneigentlichen Grenzwert $\infty$ (bzw. $-\infty$) =Df

     Bez.: $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\infty$ (bzw. $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=-\infty )$

Definition. (Grenzwert im Unendlichen) Es sei $a\in IR$ und $D\left(f\right)=\left[a,\infty \right)$ (bzw. $D\left(f\right)=\left(-\infty ,a\right]$ ). $f$ besitzt für $x\to \infty$ (bzw. für $x\to -\infty$) den Grenzwert $c$ =Df

     Bez.: $\underset{x\to \infty }{lim}f\left(x\right)=c$ (bzw. $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=c)$

Entsprechend definiert man uneigentliche Grenzwerte für $x\to \infty$ bzw. $x\to -\infty .$

Beispiele.

1. Es sei $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}.$ $f$ ist in $a=1$ nicht definiert (also auch nicht stetig), aber $f$ besitzt in $a=1$ einen Grenzwert, nämlich $c=2$. Dazu betrachten wir für $x\ne 1$

     $|f\left(x\right)-2|=\left|\right.\frac{x^2-1}{x-1}-2\left|\right.=\left|\right.\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}-2\left|\right.$

          $=|\left(x+1\right)-2|=|x-1|:=\left(\star \right).$

Ist $\epsilon >0$ und wählt man $\delta =\epsilon$, dann erhält man für $|x-1|<\delta$: $|f\left(x\right)-2|=|x-1|=\left(\star \right)<\epsilon .$

Sei $\epsilon >0$ und $x\ge 1$. Dann gilt

     $|f\left(x\right)-0|=\left|\right.\frac{1}{x^2+1}-0\left|\right.=\frac{1}{x^2+1}\le \frac{1}{x^2}\le \frac{1}{x}:=\left(\star \right).$

Für alle $x>\frac{1}{\epsilon }$ ist $|f\left(x\right)-0|\le \left(\star \right)=\frac{1}{x}<\epsilon .$

Beweis. Die Behauptung folgt unmittelbar aus der Definition des Grenzwertes.   $$

Beweis. $\left(\to \right)$ Sei $f$ in $a$ stetig. Nach Definition erhält man: Für jedes $\epsilon >0$ gibt es ein $\delta >0,$ so daß für jedes $x\in D\left(f\right)$:

     Wenn $|x-a|<\delta ,$ so $|f\left(x\right)-f\left(a\right)|<\epsilon$.

Sei $\left(x_n\right)$ eine Folge mit $x_n\to a.$ Dann ist $|x_n-a|<\delta$ für fast alle $n,$ und somit gilt auch $|f\left(x_n\right)-f\left(a\right)|<\epsilon$ für fast alle $n.$ Also $f\left(x_n\right)\to f\left(a\right).$

$\left(\leftarrow \right)$ Annahme, $f$ ist in $a$ nicht stetig. Dann gibt es ein $\epsilon >0,$ so daß für jedes $\delta >0$ ein $x\in D\left(f\right)$ existiert mit $|x-a|<\delta$ und $|f\left(x\right)-f\left(a\right)|\ge \epsilon .$ Wählt man $\delta ={\delta }_n=\frac{1}{n},$ dann gibt es für jedes $n$ ein $x_n\in D\left(f\right)$ mit $|x_n-a|<{\delta }_n=\frac{1}{n},$ also

     $x_n\to a$ aber $|f\left(x_n\right)-f\left(a\right)|\ge \epsilon ,$

d.h., $f\left(x_n\right)\cancel{\to }f\left(a\right)$   !   $$

Jetzt können wir Grenzwertsätze bei Stetigkeitsuntersuchungen benutzen.

Beweis. Mit Hilfe von Satz 5.3 erhält man die Behauptung unmittelbar aus den Grenzwertsätzen für Folgen. Wir skizzieren den Beweis für die Summe. Es sei $x_n\to a.$ Dann ist

     $\left(f+g\right)\left(x_n\right)=f\left(x_n\right)+g\left(x_n\right)\underset{n\to \infty }{\to }f\left(a\right)+g\left(a\right)=\left(f+g\right)\left(a\right).$   $$

Beweis. Nach Definition der Stetigkeit ist $g$ in $a$ und $f$ in $g\left(a\right)$ definiert, folglich ist $a\in D\left(f\circ g\right)$.

Sei $\left(x_n\right)$ eine Folge in $D\left(f\circ g\right)$ mit $x_n\to a$. Dann ist $g$ in $x_n$ definiert, und wegen $W\left(g\right)\subseteq D\left(f\right)$ ist $f$ in $g\left(x_n\right)$ definiert. Aus der Stetigkeit von $g$ in $a$ folgt: $g\left(x_n\right)\to g\left(a\right).$ Nach Voraussetzung ist $f$ in $g\left(a\right)$ stetig. Dann gilt für jede Folge $\left(y_n\right)$ in $D\left(f\right)$:

     Wenn $y_n\to g\left(a\right)$, so $f\left(y_n\right)\to f\left(g\left(a\right)\right).$

Speziell für $y_n=g\left(x_n\right)$ gilt dann

     $\left(f\circ g\right)\left(x_n\right)=f\left(g\left(x_n\right)\right)=f\left(y_n\right)\underset{}{\to }f\left(g\left(a\right)\right)=\left(f\circ g\right)\left(a\right).$

Nach Satz 5.3 ist also $f\circ g$ in $a$ stetig.   $$

Beweis. Es sei o.B.d.A. $f\left(a\right)<0<f\left(b\right)$ (sonst wird $-f\left(a\right)<0<-f\left(b\right)$ betrachtet).

Wir konstruieren eine Intervallschachtelung $\left[a_n,b_n\right]$, so daß

     $f\left(a_n\right)<0\le f\left(b_n\right)$ und $b_n-a_n=\frac{1}{2^n}\left(b_0-a_0\right).$

Sei $a_0:=a,b_0:=b\Rightarrow f\left(a\right)<0\le f\left(b\right).$ Für $n$ sei $\left[a_n,b_n\right]$ schon definiert (mit den geforderten Eigenschaften). Sei $c_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2};$ dann definieren wir

     $a_{n+1}=a_n,b_{n+1}=c_{n+1},$ falls $f\left(c_{n+1}\right)\ge 0$ und

     $a_{n+1}=c_{n+1},b_{n+1}=b_n,$ falls $f\left(c_{n+1}\right)<0$.

Offenbar ist $\left(a_n\right)$ monoton wachsend und nach oben beschränkt und $\left(b_n\right)$ monoton fallend und nach unten beschränkt. Folglich existieren $lim{a}_n$ und $lim{b}_n$, und wegen $b_n-a_n=\frac{1}{2^n}\left(b_0-a_0\right)$ ist $lim{a}_n=lim{b}_n.$ Nach dem Intervallschachtelungsaxiom existiert ein $c$ mit $a_n\le c\le b_n$ für alle $n$. $\Rightarrow lim{a}_n=c=lim{b}_n.$ Nach Voraussetzung ist $f\left(a_n\right)<0\le f\left(b_n\right)$ für alle $n$. Da $f$ in $c$ stetig ist, gilt:

     $f\left(c\right)=\underset{n\to \infty }{lim}f\left(a_n\right)\le 0\le \underset{n\to \infty }{lim}f\left(b_n\right)=f\left(c\right)$

Daraus folgt also $f\left(c\right)=0.$   $$

Korollar (Zwischenwertsatz) Ist $f$ in $\left[a,b\right]$ stetig, $d\in IR$ beliebig und $f\left(a\right)<d<f\left(b\right)$ oder $f\left(a\right)>d>f\left(b\right)$, dann existiert ein $c\in \left(a,b\right)$, so daß $f\left(c\right)=d$.

Beweis. Setzt man $g\left(x\right)=f\left(x\right)-d,$ dann erfüllt $g$ die Voraussetzungen des Nullstellensatzes. Folglich gibt es ein $c$ mit $g\left(c\right)=0=f\left(c\right)-d,$ also $f\left(c\right)=d.$   $$

Beweis. Übungsaufgabe ! (Hinweis: Man nehme an, daß $f$ nicht streng monoton ist und benutze den Zwischenwertsatz !)  $$

Beweis. Nach Satz 5.7 ist $f$ in $\left[a,b\right]$ streng monoton. Sei o.B.d.A. $f$ in $\left[a,b\right]$ streng monoton wachsend und $\alpha :=f\left(a\right),\beta :=f\left(b\right)$ (für „fallend“ verläuft der Beweis analog). Dann ist $f\left(a\right)<f\left(b\right)$, und nach dem Zwischenwertsatz werden alle Werte $d$ mit $f\left(a\right)<d<f\left(b\right)$ durch $f$ angenommen, also $f\left(\left[a,b\right]\right)=\left[f\left(a\right),f\left(b\right)\right]=\left[\alpha ,\beta \right]$.

Sei $\gamma \in \left[\alpha ,\beta \right]$. Wir haben zu zeigen, daß $f^{-1}$ in $\gamma$ stetig ist.

Dazu sei $\left(y_n\right)$ eine Folge mit $y_n\in \left[\alpha ,\beta \right]$ und $y_n\to \gamma$. Wegen $y_n,\gamma \in \left[\alpha ,\beta \right]=f\left(\left[a,b\right]\right)$ existieren $x_n,c\in \left[a,b\right]$, so daß $f\left(x_n\right)=y_n$ und $f\left(c\right)=\gamma .$ Damit ist $\left(x_n\right)$ eine beschränkte Folge in $\left[a,b\right]$. Folglich besitzt $\left(x_n\right)$ einen Häufungspunkt $c_0$ und eine gegen $c_0$ konvergierende Teilfolge $\left(x_{n_i}\right):x_{n_i}\to c_0$. Da $\left[a,b\right]$ abgeschlossen ist, gehört $c_0$ zu $\left[a,b\right]$. Aus der Stetigkeit von $f$ in $\left[a,b\right]$ folgt somit $f\left(x_{n_i}\right)\underset{}{\to }f\left(c_0\right)$.

Da $y_n\to \gamma$ und $\left(y_{n_i}\right)$ eine Teilfolge von $\left(y_n\right)$ ist, gilt auch $y_{n_i}\to \gamma$. Also $y_{n_i}\to \gamma$ und $y_{n_i}=f\left(x_{n_i}\right)\underset{}{\to }f\left(c_0\right)$, folglich ist

     $f\left(c\right)=\gamma =f\left(c_0\right).$

Gäbe es einen weiteren Häufungspunkt $c^{\prime }$ von $\left(x_n\right),$ so gäbe es eine Teilfolge $\left(x_{n_i}^{\prime }\right)$ von $\left(x_n\right)$ mit $x_{n_i}^{\prime }\to c^{\prime }$. Analog wie im vorhergehenden Teil des Beweises existiert eine Teilfolge $\left(y_{n_i}^{\prime }\right)$ von $\left(y_n\right)$ mit $y_{n_i}^{\prime }=f\left(x_{n_i}^{\prime }\right)\underset{}{\to }f\left(c^{\prime }\right)$. Wegen $y_{n_i}^{\prime }\to \gamma$ gilt dann auch

     $f\left(c^{\prime }\right)=\gamma =f\left(c\right).$

Aus der Injektivität von $f$ folgt schließlich $c^{\prime }=c_0=c.$ Die beschränkte Folge $\left(x_n\right)$ besitzt also genau einen Häufungspunkt, und dieser ist $c$, also $x_n\to c.$

Nach Voraussetzung gilt: $y_n\to \gamma$. Folglich ist

     $f^{-1}\left(y_n\right)=f^{-1}\left(f\left(x_n\right)\right)=x_n\underset{}{\to }c=f^{-1}\left(f\left(c\right)\right)=f^{-1}\left(\gamma \right),$

d.h., $f$ ist an der Stelle $\gamma$ stetig.   $$

Beispiel. Sei $f\left(x\right)=x^2,x\ge 0$. Dann ist offenbar $f$ injektiv und stetig in $\left[0,b\right]$ für jedes $b>0$ (folglich ist $f$ auch in $\left[a,\infty \right)$ stetig). Nach dem vorhergehenden Satz ist $f^{-1}=\sqrt{x}$ in $\left[f\left(0\right),f\left(b\right)\right]=\left[0,b^2\right]$ stetig, also auch in $\left[0,\infty \right)$.

5.3 Elementare Funktionen

(1) Rationale Funktionen

Definition. $f$ ist eine rationale Funktion =Df

     Darstellung: $f\left(x\right)=\frac{a_n{x}^n+\cdots +a_0}{b_m{x}^m+\cdots +b_0}$

Definition. $f$ ist eine ganze rationale Funktion oder ein Polynom über $IR$ =Df

     Darstellung: $f\left(x\right)=a_n{x}^n+\cdots +a_0$

Beweis. Der Beweis folgt sofort aus der Stetigkeit der identischen Funktion, der konstanten Funktionen und der rationalen Operationen.   $$

(2) Entwickelte algebraische Funktionen

Definition. $f$ ist eine entwickelte algebraische Funktion =Df

Bemerkung. Bisher ist $\sqrt[n]{x}$ nur für $n\ge 2$ und $x\ge 0$ definiert. Für ungerade $n$ läßt sich $\sqrt[n]{x}$ auch in dem Bereich $x<0$ definieren. Hierfür legen wir fest:

     $\sqrt[n]{x}:=-\sqrt[n]{-x}$.

Für $n=1$ gelte generell: $\sqrt[n]{x}=x$.

Beispiele (für entwickelte algebraische Funktionen)

$f\left(x\right):=\sqrt[n]{x}$;

$g\left(x\right)=\sqrt[n]{a{x}^2+bx+\sqrt{x^3-c}}+x-d$

Bemerkung. Neben den entwickelten algebraischen Funktionen gibt es noch weitere algebraische Funktionen. Man nennt eine Funktion $f$ algebraisch, wenn $f$ Lösung einer algebraischen Gleichung ist, d.h., $f$ ist eine Funktion, und es gibt Polynome $p_0\left(x\right),\dots ,p_n\left(x\right)$, so daß für jedes $x\in D\left(f\right)$ mit $y=f\left(x\right)$ gilt:

     $p_n\left(x\right)y^n+\cdots +p_1\left(x\right)y+p_0\left(x\right)=0.$

(vgl. Literaturangabe [2], Band I, Nr. 190, Begriff einer algebraischen Funktion)

Beweis. Der Beweis folgt sofort aus der Stetigkeit der Identitätsfunktion, der konstanten Funktionen, der Wurzelfunktionen (siehe nächste Bemerkung) und der Stetigkeit der rationalen Operationen.   $$

Bemerkung. Ist $f\left(x\right)=x^n,x\ge 0$, dann ist offenbar $\sqrt[n]{x}$ die Umkehrfunktion von $f$. Nach Satz 5.8 ist $f^{-1}$ in $\left[0,\infty \right)$ stetig. Für ungerade $n$ ist $f$ in $IR$ injektiv und somit die Umkehrfunktion $\sqrt[n]{x}$ in ganz $IR$ definiert und stetig. (vgl. auch Abb. 5.17). Für gerade $n$ ist $f$ in $\left(-\infty ,0\right]$ definiert und injektiv, folglich besitzt $f$ in $\left(-\infty ,0\right]$ ebenfalls eine Umkehrfunktion $-\sqrt[n]{x}$ (vgl. Abb. 5.16).

Die nächste Abbildung zeigt den analogen Fall für ungerade $n$. Hierfür existiert die inverse Funktion im gesamten Definitionsbereich von $f.$

$$

 

(3) Elementare transzendente Funktionen

Neben den algebraischen Funktionen gibt es noch weitere, nämlich die sog. transzendenten Funktionen.

Definition. $f$ ist transzendent =Df $f$ ist nicht algebraisch.

Die Klasse der transzendenten Funktionen ist sehr unübersichtlich. Daher betrachten wir hier nur die wichtigsten und relativ leicht darstellbaren (die sog. elementaren) transzendenten Funktionen. Wir beginnen mit der Exponentialfunktion und ihren Eigenschaften.

Exponentialfunktion

In dem Abschnitt über Reihen haben wir schon gesehen, daß die Potenzreihe ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ für alle $x\in IR$ konvergiert (sogar absolut; zur Erinnerung sei noch einmal erwähnt, daß für $x=0$ und $n=0$ $x^n=1$ gesetzt wurde). Für jedes $x\in IR$ ist also durch ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ ein Wert $y$ festgelegt, d.h., durch die Reihe ist eine Funktion $f\left(x\right)$ definiert. (vgl. Abb. 5.18)

     Bez.: $f\left(x\right):=exp\left(x\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

      $f\left(x\right)=exp\left(x\right)$ heißt Exponentialfunktion.

Beweis. (1) ist trivial, da $\sum \frac{x^n}{n!}$ für alle $x$ konvergiert.

(2). Übungsaufgabe !

(3). Es ist $exp\left(0\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{0^n}{n!}=1\Rightarrow$

     $1=exp\left(0\right)=exp\left(x+\left(-x\right)\right)=exp\left(x\right)\cdot exp\left(-x\right)\Rightarrow$

     $exp\left(-x\right)=\frac{1}{exp\left(x\right)},$

hieraus folgt insbesondere $exp\left(x\right)\ne 0.$ Für $x>0$ ist

     $exp\left(x\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+\underset{>0}{\underbrace{{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n!}}}>1.$

Für $x<0$ ist $-x>0,$ also $exp\left(x\right)=\frac{1}{exp\left(-x\right)}<1,$ denn $exp\left(-x\right)>1.$

(4). Es sei $x_1<x_2;$ z.z.: $exp\left(x_1\right)<exp\left(x_2\right)$.

Wegen $x_1<x_2$ gibt es ein $h>0$, so daß $x_1+h=x_2$. Folglich ist

     $exp\left(x_2\right)=exp\left(x_1+h\right)=exp\left(x_1\right)\cdot \underset{>1}{\underbrace{exp\left(h\right)}}>exp\left(x_1\right).$

(5). Es ist

     $exp\left(1\right)=exp\left(\right.\underset{n-mal}{\underbrace{\frac{1}{n}+\cdots +\frac{1}{n}}}\left)\right.=\left(\right.exp\left(\right.\frac{1}{n}\left)\right.{\left)\right.}^n\Rightarrow$

     $exp\left(\right.\frac{1}{n}\left)\right.=\left(\right.exp\left(1\right){\left)\right.}^{\frac{1}{n}}.$

Dann gilt

     $1+\frac{1}{n}<{\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{\left(\right.\frac{1}{n}{\left)\right.}^k}{k!}=exp\left(\right.\frac{1}{n}\left)\right.=\left(\right.exp\left(1\right){\left)\right.}^{\frac{1}{n}}.$

Weiterhin gilt für $n\ge 2$

     $\left(\right.exp\left(1\right){\left)\right.}^{\frac{1}{n}}=exp\left(\right.\frac{1}{n}\left)\right.<{\sum }_{k=0}^{\infty }\left(\right.\frac{1}{n}{\left)\right.}^k$ (denn $\frac{1}{k!}<1$ für $k\ge 2$)

          $=\frac{1}{1-\frac{1}{n}}=\frac{1}{\frac{n-1}{n}}=\frac{n}{n-1}=1+\frac{1}{n-1}.$

Also

     $1+\frac{1}{n}<\left(\right.exp\left(1\right){\left)\right.}^{\frac{1}{n}}<1+\frac{1}{n-1}\Rightarrow$

     $\left(\right.1+\frac{1}{n}{\left)\right.}^n<exp\left(1\right)<\left(\right.1+\frac{1}{n-1}{\left)\right.}^n\Rightarrow$

     $e=lim\left(\right.1+\frac{1}{n}{\left)\right.}^n\le exp\left(1\right)\le lim\left(\right.1+\frac{1}{n-1}{\left)\right.}^n=e\Rightarrow$

     $exp\left(1\right)=e.$

(6). 1. $x=0\Rightarrow$

     $exp\left(0\right)=1=e^0=\left(\right.exp\left(1\right){\left)\right.}^0.$

2. $x=m>0\Rightarrow$

     $exp\left(m\right)=exp\left(\underset{m-mal}{\underbrace{1+\cdots +1}}\right)=exp\left(1\right)\cdots exp\left(1\right)=\left(\right.exp\left(1\right){\left)\right.}^m.$

3. $x=\frac{1}{n}\Rightarrow$

     $exp\left(1\right)=exp\left(\right.n\cdot \frac{1}{n}\left)\right.=exp\left(\right.\underset{n-mal}{\underbrace{\frac{1}{n}+\cdots +\frac{1}{n}}}\left)\right.=\left(\right.exp\left(\right.\frac{1}{n}\left)\right.{\left)\right.}^n\Rightarrow$

     $exp\left(\right.\frac{1}{n}\left)\right.=\left(\right.exp\left(1\right){\left)\right.}^{\frac{1}{n}}.$

4. $x=\frac{m}{n}>0\Rightarrow$

     $exp\left(\right.\frac{m}{n}\left)\right.=exp\left(\right.m\cdot \frac{1}{n}\left)\right.=\left(\right.exp\left(\right.\frac{1}{n}\left)\right.{\left)\right.}^m=\left(\right.\left(\right.exp\left(1\right){\left)\right.}^{\frac{1}{n}}{\left)\right.}^m=\left(\right.exp\left(1\right){\left)\right.}^{\frac{m}{n}}.$

5. $x=-\frac{m}{n}<0\Rightarrow$

     $exp\left(\right.-\frac{m}{n}\left)\right.=\frac{1}{exp\left(\right.\frac{m}{n}\left)\right.}=\frac{1}{\left(\right.exp\left(1\right){\left)\right.}^{\frac{m}{n}}}=\left(\right.exp\left(1\right){\left)\right.}^{-\frac{m}{n}}.$