Beispiele.

3. Offenbar ist die Funktion $f$ im Beispiel 1 nicht injektiv. Schränkt man jedoch den Definitionsbereich von $f$ auf $\left[0,\infty \right)$ ein (so erhält man eigentlich eine andere Funktion, die wir aber weiterhin mit $f$ bezeichnen werden), dann ist $f$ injektiv und besitzt eine Umkehrfunktion $f^{-1}$.

Für $f\left(x\right)=x^2$ mit $x\ge 0$ ist

     $y=f\left(x\right)\iff \left(x,y\right)\in f\iff \left(y,x\right)\in f^{-1}.$

Löst man die Gleichung $y=x^2=f\left(x\right)$ nach $x$ auf, so erhält man $x=\sqrt{y}=f^{-1}\left(y\right)$, wobei $y\ge 0$. Will man die Graphen der Funktionen $f$ und $f^{-1}$ mit Hilfe des gleichen (rechtwinkligen) Koordinatensystems veranschaulichen, dann muß man $x$ und $y$ in $y=x^2$ vertauschen und entsprechend nach $y$ auflösen. Dadurch erhält man $y=\sqrt{x}.$ $f^{-1}\left(x\right)$ erweist sich dann als Spiegelung von $f\left(x\right)$ an der Geraden $y=x\left(=I\left(x\right)\right)$.