Beispiele.

3. Es sei $f\left(x\right)=x^2,D\left(f\right)=IR$, $\epsilon >0$ und $a\in IR$ beliebig. Um die Stetigkeit von $f\left(x\right)$ in $a$ nachweisen zu können, haben wir (entsprechend der Definition) für $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ mit den geforderten Eigenschaften zu finden. Es ist

     $|f\left(x\right)-f\left(a\right)|=|x^2-a^2|=|x+a|\cdot |x-a|:=\left(\star \right)$

Sei $\epsilon >0$. Erste Näherung für $\delta$: $0<\delta \le 1.$ Dann ist $|x+a|=|x-a+2a|\le \underset{<\delta \le 1}{\underbrace{|x-a|}}+\left|2a\right|\le 1+\left|2a\right|.$ Folglich ist

     $|f\left(x\right)-f\left(a\right)|=\left(\star \right)\le |x+a|\cdot |x-a|\le \left(1+\left|2a\right|\right)\cdot |x-a|.$

Wählt man jetzt $\delta \le \frac{\epsilon }{1+\left|2a\right|},$ dann ist für $|x-a|<\delta$ auch $|f\left(x\right)-f\left(a\right)|<\epsilon .$