Beispiele.

5. Es sei $$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1\text{ falls }x\ge 0\hfill \\ -1\text{ falls }x<0\hfill \end{array}$$   (vgl. Abb. 5.11)

Behauptung: $f$ ist in $a=0$ nicht stetig. Stetigkeit in $a=0$ formal ausgedrückt bedeutet:

$\forall \epsilon >0\exists \delta >0\forall x\in D\left(f\right)\left(\right.|x-a|<\delta \to |f\left(x\right)-f\left(a\right)|<\epsilon \left)\right..$

Folglich bedeutet Unstetigkeit an dieser Stelle:

$\exists \epsilon >0\forall \delta >0\exists x\in D\left(f\right)\left(\right.|x-a|<\delta \wedge |f\left(x\right)-f\left(a\right)|\ge \epsilon \left)\right..$

Es sei $\epsilon =1$ und $\delta >0$ beliebig. Ist $x\in U_{\delta }\left(0\right)$ mit $-\delta <x<0,$ dann ist $|f\left(x\right)-f\left(0\right)|=|-1-1|=2\ge \epsilon =1.$ Hieraus folgt die Behauptung.