Beispiele.

6. Es sei $$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\mathrm{1,}\text{ falls }x\text{ rational}\text{,}\\ \mathrm{0,}\text{ falls }x\text{ irrational}\text{.}\end{array}$$   (vgl. Abb. 5.12)

$f$ ist in keinem Punkt des Definitionsbereiches stetig, denn in jeder $\delta$-Umgebung von $a\in IR$ liegen rationale und irrationale Zahlen. Wählt man z.B. $\epsilon =\frac{1}{2}$ und $\delta >0$ beliebig, dann liegt wenigstens ein Funktionswert $f\left(x\right)$ mit $x\in U_{\delta }\left(a\right)$ und $x$ rational bzw. irrational außerhalb von $U_{\epsilon }\left(f\left(a\right)\right).$