Beispiele.

1. Es sei $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}.$ $f$ ist in $a=1$ nicht definiert (also auch nicht stetig), aber $f$ besitzt in $a=1$ einen Grenzwert, nämlich $c=2$. Dazu betrachten wir für $x\ne 1$

     $|f\left(x\right)-2|=\left|\right.\frac{x^2-1}{x-1}-2\left|\right.=\left|\right.\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}-2\left|\right.$

          $=|\left(x+1\right)-2|=|x-1|:=\left(\star \right).$

Ist $\epsilon >0$ und wählt man $\delta =\epsilon$, dann erhält man für $|x-1|<\delta$: $|f\left(x\right)-2|=|x-1|=\left(\star \right)<\epsilon .$