Bemerkung. Ist $f\left(x\right)=x^n,x\ge 0$, dann ist offenbar $\sqrt[n]{x}$ die Umkehrfunktion von $f$. Nach Satz 5.8 ist $f^{-1}$ in $\left[0,\infty \right)$ stetig. Für ungerade $n$ ist $f$ in $IR$ injektiv und somit die Umkehrfunktion $\sqrt[n]{x}$ in ganz $IR$ definiert und stetig. (vgl. auch Abb. 5.17). Für gerade $n$ ist $f$ in $\left(-\infty ,0\right]$ definiert und injektiv, folglich besitzt $f$ in $\left(-\infty ,0\right]$ ebenfalls eine Umkehrfunktion $-\sqrt[n]{x}$ (vgl. Abb. 5.16).

Die nächste Abbildung zeigt den analogen Fall für ungerade $n$. Hierfür existiert die inverse Funktion im gesamten Definitionsbereich von $f.$

(3) Elementare transzendente Funktionen

Neben den algebraischen Funktionen gibt es noch weitere, nämlich die sog. transzendenten Funktionen.