Satz 5.11 Die Exponentialfunktion besitzt folgende Eigenschaften $:$

$(1)$ $D (exp) = I R$ .

$(2)$

Für jedes

x, y \in I R

gilt:

exp (x + y) = exp (x) \cdot exp (y)

(Funktionalgleichung der Exponentialfunktion).

$(3)$

exp (0) = 1

und

exp (- x) = \frac{1}{exp (x)}

, für

x < 0

ist

0 < exp (x) < 1

, und für

x > 0

ist

1 < exp (x)

$(4)$

exp

ist streng monoton wachsend (folglich ist

exp

injektiv und besitzt eine Umkehrfunktion).

$(5)$

exp (1) = e

(

e = lim (1 + \frac{1}{n})^{n}) .

$(6)$

Für rationale

x = \pm \frac{m}{n}

ist

exp (x) = e^{\pm \frac{m}{n}}

(für irrationale

x

ist

e^{x}

bisher nicht definiert !).

$(7)$ $exp$ ist stetig.