Satz 5.11 Die Exponentialfunktion besitzt folgende Eigenschaften $:$

$(1)$ $D (exp) = I R$ .

$(2)$

Für jedes

$x, y \in I R$ gilt:

$exp (x + y) = exp (x) \cdot exp (y)$ (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion).

$(3)$

$exp (0) = 1$ und

$exp (- x) = \frac{1}{exp (x)}$ , für

$x < 0$ ist

$0 < exp (x) < 1$ , und für

$x > 0$ ist

$1 < exp (x)$ .

$(4)$

$exp$ ist streng monoton wachsend (folglich ist

$exp$ injektiv und besitzt eine Umkehrfunktion).

$(5)$

$exp (1) = e$

$($

$e = lim (1 + \frac{1}{n})^{n}) .$

$(6)$

Für rationale

$x = \pm \frac{m}{n}$ ist

$exp (x) = e^{\pm \frac{m}{n}}$ (für irrationale

$x$ ist

$e^{x}$ bisher nicht definiert !).

$(7)$ $exp$ ist stetig.