Beweis. (1) ist trivial, da $\sum \frac{x^{n}}{n!}$ für alle $x$ konvergiert.

(2). Übungsaufgabe !

(3). Es ist $exp (0) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{0^{n}}{n!} = 1 \Rightarrow$

$1 = exp (0) = exp (x + (- x)) = exp (x) \cdot exp (- x) \Rightarrow$

$exp (- x) = \frac{1}{exp (x)},$

hieraus folgt insbesondere $exp (x) \neq 0 .$ Für $x > 0$ ist

$exp (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + \underset{> 0}{\underset{︸}{\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}}} > 1 .$

Für $x < 0$ ist $- x > 0,$ also $exp (x) = \frac{1}{exp (- x)} < 1,$ denn $exp (- x) > 1 .$

(4). Es sei $x_{1} < x_{2};$ z.z.: $exp (x_{1}) < exp (x_{2})$ .

Wegen $x_{1} < x_{2}$ gibt es ein $h > 0$ , so daß $x_{1} + h = x_{2}$ . Folglich ist

$exp (x_{2}) = exp (x_{1} + h) = exp (x_{1}) \cdot \underset{> 1}{\underset{︸}{exp (h)}} > exp (x_{1}) .$

(5). Es ist

$exp (1) = exp (\underset{n - m a l}{\underset{︸}{\frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}}}) = (exp (\frac{1}{n}))^{n} \Rightarrow$

$exp (\frac{1}{n}) = (exp (1))^{\frac{1}{n}} .$

Dann gilt

$1 + \frac{1}{n} < \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\frac{1}{n})^{k}}{k!} = exp (\frac{1}{n}) = (exp (1))^{\frac{1}{n}} .$

Weiterhin gilt für $n \geq 2$

$(exp (1))^{\frac{1}{n}} = exp (\frac{1}{n}) < \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{n})^{k}$ (denn $\frac{1}{k!} < 1$ für $k \geq 2$ )

$= \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} = \frac{1}{\frac{n - 1}{n}} = \frac{n}{n - 1} = 1 + \frac{1}{n - 1} .$

Also

$1 + \frac{1}{n} < (exp (1))^{\frac{1}{n}} < 1 + \frac{1}{n - 1} \Rightarrow$

$(1 + \frac{1}{n})^{n} < exp (1) < (1 + \frac{1}{n - 1})^{n} \Rightarrow$

$e = lim (1 + \frac{1}{n})^{n} \leq exp (1) \leq lim (1 + \frac{1}{n - 1})^{n} = e \Rightarrow$

$exp (1) = e .$

(6). 1. $x = 0 \Rightarrow$

$exp (0) = 1 = e^{0} = (exp (1))^{0} .$

2. $x = m > 0 \Rightarrow$

$exp (m) = exp (\underset{m - m a l}{\underset{︸}{1 + \dots + 1}}) = exp (1) \dots exp (1) = (exp (1))^{m} .$

3. $x = \frac{1}{n} \Rightarrow$

$exp (1) = exp (n \cdot \frac{1}{n}) = exp (\underset{n - m a l}{\underset{︸}{\frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}}}) = (exp (\frac{1}{n}))^{n} \Rightarrow$

$exp (\frac{1}{n}) = (exp (1))^{\frac{1}{n}} .$

4. $x = \frac{m}{n} > 0 \Rightarrow$

$exp (\frac{m}{n}) = exp (m \cdot \frac{1}{n}) = (exp (\frac{1}{n}))^{m} = ((exp (1))^{\frac{1}{n}})^{m} = (exp (1))^{\frac{m}{n}} .$

5. $x = - \frac{m}{n} < 0 \Rightarrow$

$exp (- \frac{m}{n}) = \frac{1}{exp (\frac{m}{n})} = \frac{1}{(exp (1))^{\frac{m}{n}}} = (exp (1))^{- \frac{m}{n}} .$

(7). Wir zeigen zunächst, daß $exp (x)$ in $a = 0$ stetig ist. Hierzu benutzen wir das Lemma zum Identitätssatz für Potenzreihen (vgl. Satz 4.24). Wenn $x_{i} \neq 0$ und $x_{i} \to 0$ , so $\sum_{n = 0}^{\infty} \underset{: = c_{n}}{\underset{︸}{\frac{1}{n!}}} {(x_{i} - 0)}^{n} \underset{i \to \infty}{\to} c_{0} = \frac{1}{0!} = 1 .$

Also $exp (x_{i}) \underset{i \to \infty}{\to} exp (0) = 1 .$

Sei jetzt $a \in I R$ beliebig, $x_{n} \in I R$ und $x_{n} \to a .$

z.z.: $exp (x_{n}) \underset{}{\to} exp (a) .$

g.z.z.: $exp (x_{n}) - exp (a) \underset{}{\to} 0$

$exp (x_{n}) - exp (a) = exp (a) \cdot (exp (\underset{\underset{}{\to} 0}{\underset{︸}{x_{n} - a}}) - 1) \underset{}{\to} 0 \Rightarrow$

$exp (x_{n}) \underset{}{\to} exp (a),$

also ist $exp$ in $a$ stetig. <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>