Satz 5.13 $ln$ hat folgende Eigenschaften $:$ $(1)$ $ln e = 1, ln e^{x} = x$ und $e^{ln x} = x .$

$(2)$ $ln$ ist stetig.

$(3)$

ln (x \cdot y) = ln x + ln y

(Funktionalgleichung des natürlichen Logarithmus).

$(4)$

ln 1 = 0, ln \frac{1}{x} = - ln x;

für

0 < x < 1

ist

ln x < 0

, und für

1 < x

ist

0 < ln x

$(5)$

ln

ist streng monoton wachsend.

$(6)$

Für rationale

r

und reelle

x > 0

gilt

:

ln (x^{r}) = r \cdot ln x

(für irrationale

r

ist

x^{r}

noch nicht definiert !).

$(7)$ $lim_{x \to \infty} ln x = \infty, lim_{\binom{x \to 0}{x >_0}} ln x = - \infty .$