Definition. (Potenzfunktion mit beliebigem Exponenten) Sei $a\in IR$ und $x>0.$ $x^a:=e^{a\cdot \mathrm{lnx}}$ heißt Potenzfunktion (mit dem Exponenten $a$).

$D\left(x^a\right)=D\left(lnx\right)=\left(0,\infty \right)$ und $W\left(x^a\right)=\{\begin{array}{l}(\mathrm{0,}\infty )\text{ für }a\ne 0\hfill \\ \left\{1\right\}\text{ für a=0}\text{.}\hfill \end{array}$

Weiterhin ist $x^a$ für $a\ne 0$ streng monoton. Folglich besitzt $x^a$ eine Umkehrfunktion, die ebenfalls eine Potenzfunktion ist, nämlich die Funktion $x^{\frac{1}{a}}$ (vgl. Abb. 5.20).