Trigonometrische Funktionen

In der Schule werden $sin$ und $cos$ in der Regel am Einheitskreis eingeführt (vgl. Abb. 5.21 und 5.22).

(1) $sin0=0,sin\frac{\pi }{2}=1,cos0=1,cos\frac{\pi }{2}=0.$ (2) $sin$ und $cos$ sind periodisch mit der kleinsten Periode $2\pi$. (3) $sin$ ist ungerade, d.h., $sin\left(-x\right)=-sinx.$ (4) $cos$ ist gerade, d.h., $cos\left(-x\right)=cosx.$ (5)

Die Vorteile dieser Methode bestehen darin, daß der Schüler wesentliche Eigenschaften der ansonsten komplizierten Funktionen der Anschauung entnimmt. Die Nachteile sind allerdings darin zu sehen, daß die Anschauung als Beweismittel überhaupt zugelassen wird und daß z.B. die Zahl $\pi$ und Eigenschaften des Kreises als bekannt vorausgesetzt werden.

Wir kommen jetzt zu einer anderen Definition der trigonometrischen Funktionen.

Hierzu betrachten wir die Exponentialfunktion $e^z$, die bekanntlich mit Hilfe der Potenzreihe $e^z=exp\left(z\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{n!}$ definiert ist. Diese Potenzreihe ist (wie früher gezeigt wurde) für alle komplexen Zahlen $z$ absolut und damit auch unbedingt konvergent. Folglich ist $exp\left(z\right)$ auch in der gesamten komplexen Ebene definiert. Wir betrachten jetzt den Spezialfall $z=ix$ und berechnen von $e^{ix}$ den Real- und Imaginärteil:

     $e^{ix}={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{{\left(ix\right)}^n}{n!}={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{i^n{x}^n}{n!}$

       $={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{i^{2n}{x}^{2n}}{\left(2n\right)!}+{\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{i^{2n+1}{x}^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}$

       $=\underset{\text{:=}cosx}{\underbrace{{\sum }_{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}}}+\underset{\text{:=}sinx}{\underbrace{i{\sum }_{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}}}.$

Also $e^{ix}=cosx+isinx.$ Damit ergibt sich die folgende Definition.