Beweis. (1) ist nach Definition trivial.

(2) folgt unmittelbar aus der Definition von $sin$ und $cos.$

(3) und (4) zeigt man mit Hilfe des Cauchyprodukts der entsprechenden Reihen (vgl. Übungsaufgaben).

(5) und (6) folgen aus (3) und (4), indem man auf der linken Seite von (5) bzw. (6) jeweils $x,y$ in der Form $x=\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}$ und $y=\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}$ schreibt.

(7). Nach (1) ist $cos0=1;$ folglich erhält man mit Hilfe von (4):

     $1=cos0=cos\left(x+\left(-x\right)\right)=cosx\cdot \underset{=cosx}{\underbrace{cos\left(-x\right)}}-sinx\cdot \underset{=-sinx}{\underbrace{sin\left(-x\right)}}={cos}^{2}x+{sin}^{2}x.$

Damit gilt auch

     $0\le {cos}^{2}x\le 1$ und $0\le {sin}^{2}x\le 1,$

und schließlich

     $|sinx|\le 1,|cosx|\le 1.$

(8). $sin$ und $cos$ sind durch Potenzreihen definiert, diese sind in $x=0$ stetig (vgl. Beweis zu Satz 5.11 (7)). Also gilt:

Wenn $x\to 0,$ so $sinx\to sin0=0$ und $cosx\to cos0=1.$

Wir beweisen jetzt die Stetigkeit von $sin$ an einer beliebigen Stelle $a\ne 0.$ g.z.z.: Wenn $x\to a,$ so $sinx\to sina,$ d.h., $sinx-sina\underset{}{\to }0.$

Es sei $x\to a.$ Nach (5) gilt:

     $sinx-sina=2\cdot sin\frac{x-a}{2}\cdot cos\frac{x+a}{2}.$

Wegen $x\to a\iff \frac{x-a}{2}\to 0$ erhält man

     $|sinx-sina|=2\cdot \left|\right.sin\frac{x-a}{2}\left|\right.\cdot \underset{\le 1}{\underbrace{\left|\right.cos\frac{x+a}{2}\left|\right.}}\le \left|\right.\underset{\underset{}{\to }0}{\underbrace{sin\frac{x-a}{2}}}\left|\right.\underset{}{\to }0.$

Für $cos$ ergibt sich mit Hilfe von (6) die analoge Behauptung.   $$