Bemerkung. Aus der Definition und den Eigenschaften von $sin$ und $cos$ erhält man sofort die wichtigsten Eigenschaften von $tan$ und $cot$. Insbesondere gilt: $D\left(tan\right)=IR\backslash \left\{x:cosx=0\right\},W\left(tan\right)=IR$; $D\left(cot\right)=IR\backslash \left\{x:sinx=0\right\},W\left(cot\right)=IR$. $tan$ und $cot$ sind als Quotienten von stetigen Funktionen wieder stetig; $tan$ und $cot$ sind wie $sin$ und $cos$ periodisch, allerdings mit der Periode $\pi$.

Ähnlich wie $sin$ und $cos$ lassen sich auch $tan$ und $cot$ am Einheitskreis geometrisch interpretieren (vgl. Abb 5.21 und 5.24).

Die trigonometrischen Funktionen $sin,cos,tan,cot$ sind als periodische Funktionen nicht in ihren gesamten Definitionsbereichen injektiv. In den (maximalen) Teilintervallen, in denen sie jedoch injektiv sind (dort sind sie auch stetig und daher streng monoton), besitzen sie Umkehrfunktionen (die sog. Arcus-Funktionen; Arcus oder Arkus := Bogenmaß eines Winkels), die der Reihe nach mit $arcsin,arccos,arctan,arccot$ bezeichnet werden.

Zur Veranschaulichung der Arcus-Funktionen betrachte man zunächst die Abb. 5.21 . Dort ist der Winkel $x$ in Bogenmaß gegeben (das ist bekanntlich die Länge des Bogens auf dem Einheitskreis zwischen den Punkten $\left(1,0\right)$ und (u,v) im entgegengesetzten Uhrzeigersinn). Für fixiertes $x$ ist $sinx$ symbolisiert durch die Strecke der Länge $v$ zwischen den Punkten $\left(u,0\right)$ und $\left(u,v\right)$. Also

$sinx=v\Rightarrow arcsin\left(sinx\right)=arcsinv=x$ (:= die zu $sinx$ gehörende Bogenlänge).

Das Analoge gilt für Cosinus, Tangens und Cotangens. Abschließend werden noch die trigonometrischen Funktionen mit ihren Umkehrfunktionen (in geeigneten Intervallen) dargestellt (vgl. Abb. 5.25 – 5.28). Sinus wird in $\left[-\frac{1}{2}\pi ,\frac{1}{2}\pi \right]$ und in $\left[\frac{1}{2}\pi ,\frac{3}{2}\pi \right]$ betrachtet, Cosinus in $\left[0,\pi \right]$ und in $\left[\pi ,2\pi \right]$. Tangens und Cotangens werden in $\left[-\frac{1}{2}\pi ,\frac{1}{2}\pi \right]$ bzw. in $\left[0,\pi \right]$ dargestellt.

Analog wie in den vorhergehenden Abbildungen verfahren wir jetzt noch mit Tangens und Cotangens.

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