Satz 5.18 $($ Cauchysches Konvergenzkriterium für die gleichmäßige Konvergenz $)$ Sei $M \subseteq I R$ und $(f_{n})$ eine Folge von Funktionen, die alle in $M$ definiert sind.

$(1)$ $(f_{n})$ ist in $M$ gleichmäßig konvergent gdw für jedes $ε > 0$ ein $n_{0}$ existiert, so daß für alle $m, n \geq n_{0}$ und alle $x \in M$ gilt $:$ $| f_{m} (x) - f_{n} (x) | < ε .$

$(2)$ $\sum_{i = 0}^{\infty} f_{i}$ ist in $M$ gleichmäßig konvergent gdw für jedes $ε > 0$ ein $n_{0}$ existiert, so daß für alle $m, n \geq n_{0}$ und alle $x \in M$ gilt $:$ $|\sum_{i = 0}^{m} f_{i} (x) - \sum_{i = 0}^{n} f_{i} (x)| < ε$ $($ $\Leftrightarrow |\sum_{i = n + 1}^{m} f_{i} (x)| = |\sum_{i = n + 1}^{n + k} f_{i} (x)| < ε,$ falls $m > n$ und $m = n + k$ ).