Beweis. (1). ( $\to$ ) Sei $(f_{n})$ in $M$ gleichmäßig konvergent gegen $f$ und $ε > 0$ . Nach Definition existiert ein $n_{0}$ , so daß für jedes $m, n \geq n_{0}$ und für jedes $x \in M$ gilt:

$| f_{m} (x) - f (x) | < \frac{ε}{2}$ und $| f_{n} (x) - f (x) | < \frac{ε}{2} .$

Mit Hilfe der Dreiecksungleichung erhält man die Behauptung.

( $\leftarrow$ ) Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Folgen mit konstanten Gliedern konvergiert die Zahlenfolge $(f_{n} (x))$ für jedes fixierte $x \in M$ gegen einen Grenzwert, der mit $f (x)$ bezeichnet wird. $f$ ist damit eine in $M$ definierte Funktion. Wir haben zu zeigen, daß $(f_{n})$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Dazu sei $ε > 0$ beliebig. Nach Voraussetzung gibt es ein $n_{0}$ , so daß für jedes $m, n \geq n_{0}$ gilt: $| f_{m} (x) - f_{n} (x) | < \frac{ε}{2} .$

Sei $x$ beliebig aber fest. Dann gilt

$lim_{m \to \infty} \underset{< \frac{ε}{2}}{\underset{︸}{| f_{m} (x) - f_{n} (x) |}} = | lim_{m \to \infty} f_{m} (x) - f_{n} (x) | = | f (x) - f_{n} (x) | \leq \frac{ε}{2} < ε .$

(2) erhält man leicht mit Hilfe von (1). <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>