Satz 5.21 $($Stetigkeit der Grenzfunktion$)$ Sei $M\subseteq IR,\left(f_n\right)$ eine in $M$ definierte Funktionenfolge, und alle $f_n$ seien in $a$ bzw. in ganz $M$ stetig.  

$\left(1\right)$ Konvergiert $\left(f_n\right)$ in $M$ gleichmäßig gegen $f$, dann ist $f$ in $a$ bzw. in $M$ stetig.  

$\left(2\right)$ Konvergiert ${\sum }_{}^{}{f}_n$ in $M$ gleichmäßig gegen $f$, dann ist $f$ in $a$ bzw. in $M$ stetig.