Bemerkung. Aus dem letzten Satz und dem zugehörigen Korollar erhält man weiterhin:

(1) $\underset{x\to a}{lim}\underset{n\to \infty }{lim}{f}_n\left(x\right)=\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right)=\underset{n\to \infty }{lim}{f}_n\left(a\right)=\underset{n\to \infty }{lim}\underset{x\to a}{lim}{f}_n\left(x\right).$

  (Vertauschbarkeit zweier Limites bei gleichmäßig konvergenten Folgen)

(2) $\underset{x\to a}{lim}{\sum }_{n=0}^{\infty }{f}_n\left(x\right)=\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }{f}_n\left(a\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }\underset{x\to a}{lim}{f}_n\left(x\right)$ .

  (Vertauschbarkeit des Limes mit der unendlichen Summe bei gleichmäßig konvergenten Reihen)

(3) Durch Potenzreihen definierte Funktionen sind im Inneren ihres Definitionsbereiches stetig.

(4) Das Beispiel 5/4/7 zeigt, daß Funktionenreihen der Gestalt

     ${\sum }_{n=0}^{\infty }\left(\right.a_n\cdot sin\left(nx\right)+b_n\cdot cos\left(nx\right)\left)\right.$

stetige Funktionen definieren, wenn ${\sum }_{}^{}{a}_n$ und ${\sum }_{}^{}{b}_n$ absolut konvergieren. Hieraus ergeben sich interessante und wichtige Möglichkeiten für die Darstellung weiterer nicht-elementarer Funktionen. Hiermit befaßt sich die Theorie der Fourierreihen, die wir jedoch nicht behandeln werden (siehe Literaturangabe [4], Teil II, Seite 109 – 116 oder [1], Teil 2, Seite 118 – 173).