In den bisherigen Ausführungen haben wir uns vorwiegend mit Funktionen einer reellen Veränderlichen befaßt. Für die praktischen Anwendungen der Analysis sind jedoch vor allem Funktionen mit mehreren reellen Veränderlichen von Bedeutung. Diesen Untersuchungen werden wir uns jetzt verstärkt widmen.

{I R}^{n} : = {\bar{a} : a_{1}, \dots, a_{n} \in I R}, \bar{a} : = (a_{1}, \dots, a_{n}),

über

I R

mit den folgenden Operationen: Addition in

{I R}^{n}

\bar{a} + \bar{b} := (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{n} + b_{n}),

Multiplikation mit

r \in I R

r \cdot \bar{a} := (r a_{1}, \dots, r a_{n}) .

Definition. (euklidischer Abstand ) Seien

\bar{a}, \bar{b} \in {I R}^{n} .

| \bar{a} - \bar{b} | := \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(a_{i} - b_{i})}^{2}}

heißt euklidischer Abstand zwischen

\bar{a}

und

\bar{b}

Bemerkung. Für

\bar{b} = \bar{0}

erhält man

| \bar{a} - \bar{0} | = | \bar{a} | = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}} .

| \bar{a} |

ist also der Abstand zwischen

\bar{a}

und

\bar{0}

und heißt Länge des Vektors

\bar{a}

oder auch Betrag von

\bar{a}

Definition. Der

n

-dimensionale Vektorraum

{I R}^{n}

zusammen mit dem euklidischen Abstand heißt

n

-dimensionaler euklidischer Raum.

Wir werden den euklidischen Raum ebenfalls mit

{I R}^{n}

bezeichnen. Offensichtlich sind die Körper der reellen bzw. der komplexen Zahlen Spezialfälle für ein- bzw. zweidimensionale euklidische Räume.

Satz 6.1 $($ Schwarzsche Ungleichung $)$ Für beliebige reelle Zahlen $a_{i}, b_{i}$ gilt $:$

$(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i})^{2} \leq (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) \cdot (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2}) .$

Beweis. In der linearen Algebra definiert man das Skalarprodukt für Vektoren

\bar{a} = (a_{1}, \dots, a_{n}), \bar{b} = (b_{1}, \dots, b_{n}) \in I R

wie folgt:

(\bar{a}, \bar{b}) : = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} b_{i} .

Man überlegt sich leicht, daß das so definierte Skalarprodukt folgende Eigenschaften besitzt:

(\bar{a}, \bar{a}) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i}^{2} \geq 0,

und

(\bar{a}, \bar{a}) > 0

, falls

\bar{a} \neq \bar{0}

(\bar{a} + \bar{c}, \bar{b} + \bar{d}) = (\bar{a}, \bar{b}) + (\bar{a}, \bar{d}) + (\bar{c}, \bar{b}) + (\bar{c}, \bar{d}),

(r \cdot \bar{a}, \bar{b}) = r \cdot (\bar{a}, \bar{b}) = (\bar{a}, r \cdot \bar{b})

für alle

r \in I R

0 \leq (r \cdot \bar{a} + \bar{b}, r \cdot \bar{a} + \bar{b}) = r^{2} \cdot (\bar{a}, \bar{b}) + (\bar{b}, \bar{b}) .

Für

\bar{a} = \bar{0}

ist die Schwarzsche Ungleichung offenbar richtig. Es sei jetzt

\bar{a} \neq \bar{0}

und damit

(\bar{a}, \bar{a}) > 0

. Wählt man speziell

r = - \frac{(\bar{a}, \bar{b})}{(\bar{a}, \bar{a})}

, dann erhält man

0 \leq \frac{{(\bar{a}, \bar{b})}^{2}}{(\bar{a}, \bar{a})} - \frac{2 {(\bar{a}, \bar{b})}^{2}}{(\bar{a}, \bar{a})} + (\bar{b}, \bar{b}) = - \frac{{(\bar{a}, \bar{b})}^{2}}{(\bar{a}, \bar{a})} + (\bar{b}, \bar{b}) .

Satz 6.2 Für alle $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} \in {I R}^{n}$ und $r \in I R$ gilt $:$

$(1)$ $| \bar{a} | \geq 0$ , und $| \bar{a} | = 0 \Leftrightarrow \bar{a} = \bar{0}$ .

$(2)$ $| r \cdot \bar{a} | = | r | \cdot | \bar{a} |$ .

(\Rightarrow | - \bar{a} | = | \bar{a} |

und

| \bar{a} - \bar{b} | = | \bar{b} - \bar{a} |) .

(Symmetrie des Abstands)

(3)

| \bar{a} + \bar{b} | \leq | \bar{a} | + | \bar{b} | .

(Dreiecksungleichung)

\begin{array}{l} (4) | \bar{a} - \bar{b} | \leq | \bar{a} - \bar{c} | + | \bar{c} - \bar{b} |, \\ (5) | | \bar{a} | - | \bar{b} | | \leq | \bar{a} - \bar{b} | . \end{array}} (Formen der Dreiecksungleichung)

Beweis. (1) und (2) sind trivial (analog wie für komplexe Zahlen). (3) wird mit Hilfe der Schwarzschen Ungleichung bewiesen (analog wie für komplexe Zahlen). (4) und (5) folgen aus (3) wie bei den reellen Zahlen.

<mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Bemerkung. Unser Ziel ist es, in euklidischen Räumen Analysis zu betreiben (tiefergehende analytische Betrachtungen erfordern noch allgemeinere Räume, dies würde aber den Rahmen dieser Darstellung sprengen). Unabhängig von den betrachteten Räumen benötigt man bei einer ganzen Reihe von Grundbegriffen der Analysis weder Zahlen noch Tupel von Zahlen, oft reicht eine Menge (:= Punktmenge) und eine Abstandsdefinition zwischen den Punkten der Menge aus, um grundlegende Begriffe definieren zu können. Wenn dann in den konkreten Räumen, die wir betrachten (z.B.

{I R}^{n}

für die verschiedenen

n

), ein Abstand definiert ist, so sind in diesen Räumen schon alle Begriffe gegeben, die allein mit dem Abstand definiert werden können. Die Konvergenz von Folgen ist z.B. ein solcher Begriff, der sich allein auf den Abstand zurückführen läßt. Um nicht in jedem euklidischen Raum die Konvergenz und andere Definitionen neu formulieren zu müssen, betrachten wir sog. metrische Räume (das sind Punktmengen mit einem Abstand).

Definition. (metrischer Raum) Es sei

I M

eine nicht-leere Menge und

ρ : I M \times I M \to I R

(d.h., für

a, b \in I M

ist

ρ (a, b) \in I R

), so daß für alle

a, b, c \in I M

gilt: (1)

ρ (a, b) \geq 0,

und

ρ (a, b) = 0 \Leftrightarrow a = b .

(2)

ρ (a, b) = ρ (b, a) .

(Symmetrie) (3)

ρ (a, b) \leq ρ (a, c) + ρ (c, b) .

(Dreiecksungleichung) Dann ist

ρ

eine Metrik oder Abstandsfunktion in

I M

, und das Paar

(I M, ρ)

heißt metrischer Raum.

Bemerkung. Wir werden den metrischen Raum (

I M, ρ

) wie üblich auch einfach mit

I M

bezeichnen. Offenbar hat der in

I R, l C, {I R}^{n}

definierte Abstand die Eigenschaften (1) – (3). Folglich sind

(I R, | \dots |), (l C, | \dots |), ({I R}^{n}, | \dots |)

oder kurz

I R, l C, {I R}^{n}

metrische Räume. Im folgenden sei

(I M, ρ)

bzw.

I M

stets ein metrischer Raum.

Definition. (

ε

-Umgebung) Es sei

a \in I M, ε \in I R

und

ε > 0 .

U_{ε} (a)

heißt

ε

-Umgebung von

a

(in

I M

) =Df

U_{ε} (a) : = {x \in I M : ρ (x, a) < ε}

Ist z.B.

I M = {I R}^{n}

und

\bar{a} \in {I R}^{n},

so ist

U_{ε} (\bar{a}) = {\bar{x} \in {I R}^{n} : | \bar{x} - \bar{a} | < ε}

eine

n

-dimensionale offene Kugel in

{I R}^{n}

mit dem Radius

ε

und dem Mittelpunkt

\bar{a}

. Für

n = 1, 2

erhält man ein offenes Intervall in

I R

bzw. eine offene Kreisscheibe (:=Kreis ohne Rand) in der Ebene (vgl. Abb. 6.1).

Definition. (offene Menge) Es sei

M \subseteq I M

M

heißt offen (in

I M

) =Df

Für jedes

a \in M

gibt es ein

ε > 0,

so daß

U_{ε} (a) \subseteq M .

(Mit jedem

a \in M

gehört noch eine ganze

ε

-Umgebung zu

M

, vgl. auch Abb. 6.2.)

Bemerkung. Im praktischen Umgang kommt man fast immer mit den spezielleren

ε

-Umgebungen aus, denn jede

ε

-Umgebung ist eine Umgebung, und in jeder Umgebung von

a

ist eine

ε

-Umgebung von

a

enthalten (und dies reicht in der Regel aus). Es ist aber oft bequem, einfach von Umgebungen zu sprechen.

Definition. (Beschränktheit) Es sei

M \subseteq I M .

M

ist beschränkt (in

I M

) =Df

Es existiert ein

a \in I M

und ein

ε > 0

, so daß

M \subseteq U_{ε} (a)

(d.h.,

M

ist in einer Kugel – mit endlichem Radius

ε

– enthalten; also für jedes

x \in M

gilt:

ρ (x, a) < ε

; vgl. Abb. 6.3)

Definition. (Häufungspunkt) Es sei

M \subseteq I M

und

a \in I M .

a

ist ein Häufungspunkt von

M

=Df

Satz 6.3 Es sei $M \subseteq I M .$ Ist $a$ ein Häufungspunkt von $M,$ dann liegen in jeder Umgebung von $a$ unendlich viele Punkte aus $M .$

Satz 6.4 $($ Satz von Bolzano-Weierstraß $)$ Jede unendliche und beschränkte Menge von Elementen aus ${I R}^{n}$ besitzt wenigstens einen Häufungspunkt.

Beweis. (Der Beweis erfolgt mit einer sog. Würfelschachtelung, die analog zu einer Intervallschachtelung induktiv konstruiert wird). Beweisidee: Es sei

M \subseteq {I R}^{n}

und

M

unendlich und beschränkt. Dann läßt sich

M

in eine Kugel und damit auch in einen

n

-dimensionalen Würfel

W_{0} : = [a_{1}^{0}, b_{1}^{0}] \times \dots \times [a_{n}^{0}, b_{n}^{0}]

mit endlicher Kantenlänge einschließen, wobei

a_{i}^{0}, b_{i}^{0} \in I R, a_{i}^{0} < b_{i}^{0}

und

b_{i}^{0} - a_{i}^{0} = b_{j}^{0} - a_{j}^{0}

für

i, j = 1, \dots, n .

Es gilt also

M \subseteq W_{0} .

Die Kanten des Würfels werden durch die Intervalle

[a_{i}^{0}, b_{i}^{0}]

auf den Koordinatenachsen repräsentiert (vgl. Abb. 6.4).

Durch Halbierung der Würfelkanten entsteht eine Zerlegung von $W_{0}$ in endlich viele Teilwürfel $W_{0}^{1}, \dots, W_{0}^{k},$ (in unserem Fall ist $k = 2^{n}$ ) und $W_{0} = ⋃_{i = 1}^{k} W_{0}^{i}$ . Dann ist

$M \cap W_{0} = M \cap (⋃_{i = 1}^{k} W_{0}^{i}) = ⋃_{i = 1}^{k} (M \cap W_{0}^{i})$

unendlich. Folglich gibt es einen Teilwürfel

W_{0}^{i},

so daß schon

M \cap W_{0}^{i}

unendlich ist. Wir wählen einen solchen Teilwürfel

W_{0}^{i}

aus und nennen ihn

W_{1}

. Es sei jetzt

W_{m}

schon definiert mit den fogenden Eigenschaften: Die Kantenlänge von

W_{m}

ist

l (W_{m}) = \frac{1}{2^{m}} \cdot l (W_{0})

und

M \cap W_{m}

ist unendlich. Analog wie bei

W_{0}

halbieren wir jetzt die Kanten von

W_{m}

und erhalten eine Zerlegung von

W_{m}

k

Teilwürfel

W_{m}^{1}, \dots, W_{m}^{k}

, so daß

W_{m} = ⋃_{i = 1}^{k} W_{m}^{i}

und

M \cap W_{m} = ⋃_{i = 1}^{k} (M \cap W_{m}^{i}) .

Da nach Voraussetzung

M \cap W_{m}

unendlich ist, existiert ein

W_{m}^{i},

so daß

M \cap W_{m}^{i}

unendlich ist; sei

W_{m + 1} : = W_{m}^{i}

Auf diese Weise entsteht eine Folge

W_{0} \supseteq W_{1} \supseteq \dots \supseteq W_{m} \supseteq \dots

von ineinander geschachtelten Würfeln. Für den Würfel

W_{m}

sei die

j

-te Würfelkante (

j = 1, \dots, n

) durch das Intervall

[a_{j}^{m}, b_{j}^{m}]

gegeben. Offenbar ist

([a_{j}^{m}, b_{j}^{m}])_{m = 0, 1, 2, \dots}

dann eine Intervallschachtelung in

I R

. Nach dem Intervallschachtelungsaxiom gibt es ein

c_{j},

so daß

c_{j} \in [a_{j}^{m}, b_{j}^{m}]

für fixiertes

j

mit

j \in {1, \dots, n}

und

m = 0, 1, 2, \dots .

Offenbar ist

\bar{c} \in ⋂_{m = 0}^{\infty} W_{m}

. Sei

ε > 0

. Wegen

l (W_{m}) = \frac{1}{2^{m}} \cdot l (W_{0})

kann mit wachsendem

m

die Kantenlänge des

m

-ten Würfels so klein gemacht werden, daß für hinreichend große

m

der ganze Würfel

W_{m}

U_{ε} (\bar{c})

gehört:

W_{m} \subseteq U_{ε} (\bar{c})

. Da

M \cap W_{m} \subseteq W_{m}

und

M \cap W_{m}

unendlich ist, liegen in

U_{ε} (\bar{c})

unendlich viele Elemente aus

M;

folglich ist

\bar{c}

ein Häufungspunkt von

M .

Definition. (abgeschlossene Menge) Eine Menge

M \subseteq I M

ist abgeschlossen =Df Jeder Häufungspunkt von

M

gehört zu

M .

Satz 6.5 Es sei $M \subseteq I M$ und $C (M)$ das Komplement von $M$ bez. $I M .$ Dann gilt $:$ $M$ ist offen gdw $C (M)$ abgeschlossen ist.

Beweis. (

\to

) Sei

M

offen und

a

ein Häufungspunkt von

C (M)

. z.z.:

a \in C (M)

. Annahme:

a \notin C (M) (\Rightarrow a \in M)

. Da

M

offen ist, existiert ein

ε > 0,

so daß

U_{ε} (a) \subseteq M .

Dann enthält

U_{ε} (a)

keinen Punkt aus

C (M),

folglich ist

a

kein Häufungspunkt von

C (M)

(

\leftarrow

) Sei

C (M)

abgeschlossen und

a \in M .

z.z.: Es gibt ein

ε > 0,

so daß

U_{ε} (a) \subseteq M .

Annahme: Für jedes

ε > 0

ist

U_{ε} (a) \subseteq̸ M,

d.h., für jedes

ε > 0

existiert ein

x \in U_{ε} (a)

mit

x \notin M,

also

x \in C (M)

. Wegen

a \in M

ist

x \neq a .

Folglich gibt es in jeder

ε

-Umgebung von

a

ein von

a

verschiedenes Element aus

C (M)

; somit ist

a

ein Häufungspunkt von

C (M)

. Da

C (M)

nach Voraussetzung abgeschlossen ist, muß

a

C (M)

gehören.

Satz 6.6 In metrischen Räumen gilt $:$ $(1)$ Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist offen. $(2)$ Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist offen. $(3)$ Die Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen. $(4)$ Der Durchschnitt von beliebig vielen abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen.

(3)

M

ist abgeschlossen gdw der Rand von

M

(:= Menge aller Randpunkte von

M

) zu

M

gehört.

Beweis. (1). Beispiel: Das Intervall

M = (0, 1)

I R

. (2) ist nach Definition trivial. (3). Randpunkte sind offenbar Häufungspunkte oder isolierte Punkte. Daraus folgt die Behauptung. (4). Beispiel:

I M = I R

und

M = [0, 1)

. (5). Beispiel:

I M = I R

und

M = I R

oder

M = \emptyset

Wir betrachten jetzt Folgen

(x_{n})

I M,

d.h., für jede natürliche Zahl

n

ist

x_{n} \in I M

Definition. (Konvergenz in metrischen Räumen) Sei

(x_{n})

eine Folge in

I M

und

a \in I M .

(x_{n})

konvergiert gegen

a

(in

I M

) =Df

Für jedes

ε > 0

gibt es ein

n_{0}

, so daß für jedes

n \geq n_{0}

gilt:

ρ (x_{n}, a) < ε

(d.h., für fast alle

n

ist der Abstand zwischen

x_{n}

und

a

kleiner als

ε

, oder in jeder

ε

-Umgebung von

a

liegen fast alle Folgeglieder).

Damit ist der Begriff der Konvergenz in metrischen Räumen definiert. Betrachtet man also einen speziellen metrischen Raum, etwa

I R

oder

{I R}^{n}

dann muß man dort die Konvergenz nicht neu definieren.

Es sei jetzt

I M = {I R}^{n}

und

({\bar{x}}_{i})

eine Folge in

{I R}^{n},

also

{\bar{x}}_{i} = (x_{1 i}, \dots, x_{n i})

(

n

fixiert und

i = 0, 1, 2, \dots

), und es sei

\bar{a} = (a_{1}, \dots, a_{n}) .

Satz 6.7 Ist $({\bar{x}}_{i})$ eine Folge in ${I R}^{n}$ und $\bar{a} \in {I R}^{n},$ dann gilt $:$ $({\bar{x}}_{i})$ konvergiert gegen $\bar{a}$ $\Leftrightarrow$ für jedes $k = 1, \dots, n$ konvergiert ${(x_{k i})}_{i = 0, 1, 2, \dots}$ gegen $a_{k} .$ (D.h., Konvergenz in ${I R}^{n}$ ist komponentenweise Konvergenz.)

Damit übertragen sich sehr viele Konvergenzeigenschaften für Folgen in

I R

auf Folgen in

{I R}^{n};

insbesondere gilt: Ist

({\bar{x}}_{i})

{I R}^{n}

beschränkt (:= die Menge

{{\bar{x}}_{i} : i = 0, 1, 2, \dots}

ist beschränkt), dann existiert ein Häufungspunkt

\bar{a}

von

({\bar{x}}_{i})

und eine Teilfolge

({\bar{x}}_{i_{j}})

von

({\bar{x}}_{i})

, die gegen

\bar{a}

konvergiert.

Definition. (Funktionen mit mehreren Veränderlichen)

f

ist eine reellwertige Funktion mit

n

reellen Veränderlichen =Df

f \subseteq {I R}^{n} \times I R (: = {I R}^{n + 1})

und für jedes

\bar{a} \in {I R}^{n}

gibt es höchstens ein

b \in I R,

so daß

(\bar{a}, b) \in f

(hierbei ist

(\bar{a}, b) = (a_{1}, \dots, a_{n}, b)

Da die Werte dieser Funktionen reelle Zahlen sind, lassen sich die rationalen Operationen hierfür völlig analog wie bei Funktionen mit einer reellen Veränderlichen definieren. Eine anschauliche graphische Darstellung der Funktionen

f : {I R}^{n} \to I R

ist für die Fälle

n \geq 3

nicht mehr möglich. Für

n = 2

erfolgt dies im dreidimensionalen Raum

{I R}^{3}

(vgl. Abb. 6.6). Hierbei benutzt man in der Regel

x, y

als unabhängige Variablen und

z

als abhängige Variable.

Die Verkettung

f \circ g

für beliebige Funktionen

g : A \to B

und

f : B \to C

ist nur dann definiert, wenn

W (g) \subseteq D (f)

(vgl. Kapitel 5, Operationen für Funktionen). Daraus ergibt sich sofort, daß sich reellwertige Funktionen nur in Spezialfällen verketten lassen,

f

müßte z.B.

I R

I R

abbilden.

Betrachtet man Funktionen

f : {I R}^{n} \to {I R}^{m}

, wobei

m, n \geq 1

und sonst beliebig sind (solche Funktionen heißen auch Vektorfunktionen und für

m = n

auch Vektorfelder), dann läßt sich die Verkettung wieder allgemeiner ausführen.

Die oben betrachteten Funktionen sind wichtige Hilfsmittel zur Beschreibung der objektiven Realität mit Hilfe mathematischer Begriffe. Will man etwa das Gravitationsfeld der Erde durch eine Funktion

f

beschreiben, dann muß die Funktion

f

jedem Raumpunkt

\bar{a} \in {I R}^{3}

die wirkende Schwerkraft

\bar{b}

in diesem Punkt zuordnen. Die Kraft ist aber auch ein Vektor (aus

{I R}^{3}

), also ist

f : {I R}^{3} \to {I R}^{3}

Ist

g : {I R}^{n} \to {I R}^{m}

und

f : {I R}^{m} \to {I R}^{k}

, dann ist

f \circ g : {I R}^{n} \to {I R}^{k} .

Wenn nun

\bar{x} = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in {I R}^{n}

, dann gibt es reelle Zahlen

y_{1}, \dots, y_{m}

, so daß

g (\bar{x}) = (y_{1}, \dots, y_{m})

. Ist zusätzlich

(y_{1}, \dots, y_{m}) \in D (f)

, dann ist auch

f

an der Stelle

(y_{1}, \dots, y_{m})

definiert, folglich gibt es reelle Zahlen

z_{1}, \dots, z_{k}

mit

f (y_{1}, \dots, y_{m}) = (z_{1}, \dots, z_{k})

, also

f (g (x_{1}, \dots, x_{n})) = (z_{1}, \dots, z_{k})

. Betrachtet man

\bar{x}

als ein

n

-Tupel von Variablen

x_{i}

, dann lassen sich aus

f (y_{1}, \dots, y_{m}) = f (g_{1} (\bar{x}), \dots, g_{m} (\bar{x})) = (z_{1}, \dots, z_{k}) .

Für

g : {I R}^{n} \to {I R}^{m}

schreiben wir auch

g : = (g_{1}, \dots, g_{m})

und schließlich

(f \circ g) (\bar{x}) = f (g (\bar{x})) = f (g_{1} (\bar{x}), \dots, g_{m} (\bar{x})) = (z_{1}, \dots, z_{k}) .

Bevor wir uns der Stetigkeit und weiterer wichtiger Eigenschaften von Vektorfunktionen zuwenden, betrachten wir noch einen wichtigen Spezialfall für

f : {I R}^{m} \to {I R}^{k},

nämlich

f : I R \to {I R}^{k}

, also

m = 1

. Mit solchen Funktionen lassen sich sehr elegant sogenannte Kurven in mehrdimensionalen Räumen darstellen.

Als Beispiel wählen wir

k = 2

(vgl. Abb. 6.7). In

{I R}^{2}

sei ein Kreis mit dem Radius

r

und dem Mittelpunkt

0 : = (0, 0)

gegeben. Den Kreis kann man durch die Gleichung

x^{2} + y^{2} = r^{2}

beschreiben. Löst man diese Gleichung nach

y

auf, so erhält man

y = \pm \sqrt{r^{2} - x^{2}} .

Entsprechend des Vorzeichens entstehen zwei reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen, die jeweils den oberen bzw. den unteren Kreisbogen beschreiben. Der gesamte Kreisbogen läßt sich aber nicht durch eine reellwertige Funktion beschreiben. Ist

(x, y)

der in der Abbildung dargestellte Punkt auf dem Kreis und

t

der zugehörige Kreisbogen, dann ist offenbar

zeigt den Kreis. (Eine solche Darstellung des Kreises bezeichnet man auch als eine Parameterdarstellung des Kreises, das Intervall

[0, 2 π]

heißt hierbei Parameterintervall. Wir werden uns mit diesen „Kurven“ noch genauer befassen.)

Bemerkung. Die wichtigsten Eigenschaften der Vektorfunktionen lassen sich aus den Eigenschaften ihrer Komponenten herleiten – diese Komponenten sind reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher. Daher werden wir uns vorwiegend mit reellwertigen Funktionen befassen. Um aber nicht für jeden konkreten euklidischen Raum die Definitionen (und auch Sätze) immer wieder neu formulieren (bzw. beweisen) zu müssen, hatten wir metrische Räume eingeführt. Die Ergebnisse sind dann jeweils für den entsprechenden Spezialfall zu interpretieren.

Im folgenden seien

({I M}_{1}, ρ_{1})

und

({I M}_{2}, ρ_{2})

metrische Räume, die wir kurz mit

{I M}_{1}

bzw. mit

{I M}_{2}

bezeichnen. (Für unsere Zwecke können wir uns darunter immer

{I R}^{n}, {I R}^{m}

vorstellen.)

Definition. (Stetigkeit in metrischen Räumen) Sei

f : {I M}_{1} \to {I M}_{2}

und

a \in {I M}_{1}

f

ist in

a

stetig =Df

a \in D (f)

und für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0

, so daß für jedes

x \in D (f)

gilt: Wenn

ρ_{1} (x, a) < δ

, so

ρ_{2} (f (x), f (a)) < ε

. (Andere Formulierung: Wenn

x \in U_{δ} (a)

, so

f (x) \in U_{ε} (f (a))

Wie für reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen vereinbaren wir, daß eine Funktion

f

in einer Menge

M \subseteq {I M}_{1}

stetig ist, wenn sie in jedem Punkt der Menge stetig ist.

Ist z.B.

{I M}_{1} = {I R}^{n}, {I M}_{2} = I R

(mit dem euklidischen Abstand als Metrik) und ist

\bar{a} \in {I R}^{n}

, dann erhält man:

f

ist in

\bar{a}

stetig

\Leftrightarrow

\bar{a} \in D (f)

und für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0

, so daß für jedes

\bar{x} \in D (f)

gilt: Wenn

| \bar{x} - \bar{a} | < δ

, so

| f (\bar{x}) - f (\bar{a}) | < ε

(1) Sei

f : {I R}^{n} \to I R

c \in I R

und

f (\bar{x}) = c

für jedes

\bar{x} \in {I R}^{n}

(konstante Funktion). Aus der Definition folgt unmittelbar, daß

f

{I R}^{n}

stetig ist.

| f (x, y) - f (a, b) | = | x + y - (a + b) | = | x - a + y - b | \leq | x - a | + | y - b | : = (⋆) .

g.z.z.: Es gibt ein

δ > 0,

so daß für jedes

(x, y) \in D (f)

: Wenn

| (x, y) - (a, b) | < δ

, so

(⋆) < ε

| (x, y) - (a, b) | = | (x - a, y - b) | = \sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}} .

Also

| f (x, y) - f (a, b) | \leq (⋆) = | x - a | + | y - b | < ε

; damit leistet

δ = \frac{ε}{2}

das Verlangte.

Satz 6.8 Sei $f : {I R}^{n} \to {I R}^{m}, f (\bar{x}) = (f_{1} (\bar{x}), \dots, f_{m} (\bar{x}))$ und $\bar{a} \in {I R}^{n}$ . Dann gilt $:$ $f$ ist in $\bar{a}$ stetig gdw $f_{1}, \dots, f_{m}$ in $\bar{a}$ stetig sind. (D.h., Stetigkeit bei Vektorfunktionen ist komponentenweise Stetigkeit.)

Beweis. Zunächst gilt für beliebige Vektoren

\bar{c} = (c_{1}, \dots, c_{k})

| c_{i} | = \sqrt{c_{i}^{2}} \leq \sqrt{c_{1}^{2} + \dots + c_{k}^{2}} = | \bar{c} | =

| (c_{1}, 0, \dots, 0) + \dots + (0, \dots, 0, c_{i}, 0, \dots, 0) + \dots + (0, \dots, 0, c_{k}) | \leq

| (c_{1}, 0, \dots, 0) | + \dots + | (0, \dots, 0, c_{k}) | = | c_{1} | + \dots + | c_{k} | .

Wir kommen nun zum eigentlichen Beweis. (

\to

) Sei

f

\bar{a}

stetig. Dann gilt: Für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0

, so daß für jedes

\bar{x} \in D (f)

: Wenn

| \bar{x} - \bar{a} | < δ,

| f (\bar{x}) - f (\bar{a}) | < ε

Wegen

| f (\bar{x}) - f (\bar{a}) | = | (f_{1} (\bar{x}) - f_{1} (\bar{a}), \dots, f_{m} (\bar{x}) - f_{m} (\bar{a})) |

erhält man nach den obigen Ausführungen

| f_{i} (\bar{x}) - f_{i} (\bar{a}) | \leq | f (\bar{x}) - f (\bar{a}) | < ε

für

i = 1, \dots, m .

Also wenn

| \bar{x} - \bar{a} | < δ,

| f_{i} (\bar{x}) - f_{i} (\bar{a}) | < ε

für

i = 1, \dots, m .

(

\leftarrow

) Seien jetzt

f_{1}, \dots, f_{m}

\bar{a}

stetig. Dann gilt für

i = 1, \dots, m

: Für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ_{i} > 0

, so daß für jedes

\bar{x} \in D (f_{i})

: Wenn

| \bar{x} - \bar{a} | < δ_{i},

| f_{i} (\bar{x}) - f_{i} (\bar{a}) | < \frac{ε}{m}

Wir wählen

δ : = min {δ_{1}, \dots, δ_{m}}

; dann erhält man für

| \bar{x} - \bar{a} | < δ

sofort

| f_{i} (x) - f_{i} (\bar{a}) | < \frac{ε}{m}

, also

| f (\bar{x}) - f (\bar{a}) | \leq | f_{1} (\bar{x}) - f_{1} (\bar{a}) | + \dots + | f_{m} (\bar{x}) - f_{m} (\bar{a}) | < m \cdot \frac{ε}{m} = ε .

Bemerkung. Aufgrund von Satz 6.8 können Stetigkeitsuntersuchungen für Vektorfunktionen zurückgeführt werden auf Stetigkeitsuntersuchungen für reellwertige Funktionen. Analog wie bei Funktionen einer reellen Veränderlichen läßt sich die Stetigkeit auch hier mit dem Grenzwertbegriff charakterisieren.

Definition. (Grenzwert ) Sei

f : {I M}_{1} \to {I M}_{2}

a

ein Häufungspunkt von

D (f)

und

c \in {I M}_{2}

f

besitzt in

a

den Grenzwert

c

=Df

Ist

f : {I R}^{n} \to I R, c \in I R

und

\bar{a}

ein Häufungspunkt von

D (f)

, dann gilt:

f

besitzt an der Stelle

\bar{a}

den Grenzwert

c

\Leftrightarrow

für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0

, so daß für jedes

\bar{x} \in D (f)

mit

\bar{x} \neq \bar{a}

gilt: Wenn

| \bar{x} - \bar{a} | < δ

, so

| f (\bar{x}) - c | < ε

. Für reellwertige Funktionen lassen sich völlig analog wie im eindimensionalen Fall uneigentliche Grenzwerte

\pm \infty

definieren.

Satz 6.9 Sei $f : {I M}_{1} \to {I M}_{2}, a$ ein Häufungspunkt von $D (f)$ und $a \in D (f)$ . Dann gilt $:$ $f$ ist in $a$ stetig gdw $lim_{x \to a} f (x)$ existiert und $lim_{x \to a} f (x) = f (a) .$

Beweis. Der Beweis kann völlig analog wie im Fall

f : I R \to I R

geführt werden (vgl. Kapitel 5, Satz 5.2). Da hier aber neue Begriffe auftauchen, soll die Beweisidee noch einmal erläutert werden.

(

\to

) Sei

f

a

stetig und

ε > 0

. Nach Definition der Stetigkeit gibt es dann ein

δ > 0,

so daß für alle

x \in D (f)

gilt: Wenn

ρ_{1} (x, a) < δ,

ρ_{2} (f (x), f (a)) < ε

. Damit ist nach Definition des Grenzwertes:

lim_{x \to a} f (x) = f (a) (: = c) .

(

\leftarrow

) Ist

lim_{x \to a} f (x) = f (a),

dann ist nach der Definition des Grenzwertes offenbar auch

f

a

stetig.

Bemerkung. Bei stetigen Funktionen können Limes und Funktion vertauscht werden:

insbesondere gilt für

x \to a

lim_{} f (g (x)) = f (lim_{} g (x)) = f (g (lim_{} x)) = f (g (a)) .

Satz 6.10 $($ Folgenstetigkeit $)$ Sei $f : {I M}_{1} \to {I M}_{2}$ und $a \in D (f) .$ $f$ ist in $a$ stetig gdw für jede Folge $(x_{i})$ in ${I M}_{1}$ mit $x_{i} \in D (f)$ gilt $:$ Wenn $x_{i} \to a_{i}$ , so $f (x_{i}) \to f (a) .$

Bemerkung. Für uns sind natürlich die Fälle

{I M}_{1} = {I R}^{n}

und

{I M}_{2} = {I R}^{m}

mit

m, n \geq 1

von besonderem Interesse, auf die wir uns jetzt beschränken wollen.

Satz 6.11 In euklidischen Räumen sind Summe, Differenz, Produkt, Quotient und die Verkettung stetiger Funktionen wieder stetig. (Beim Produkt bzw. beim Quotienten werden nur solche Funktionen zugelassen, die aus ${I R}^{n}$ in $I R$ abbilden !)

Beweis. Den Beweis führt man völlig analog wie für Funktionen

f : I R \to I R

. (Die obige Einschränkung für Produkte und Quotienten auf reellwertige Funktionen ist notwendig, da Produkt und Quotient von Vektoren i.a. nicht definiert sind.)

Es gibt ein abgeschlossenes Intervall

[a, b]

mit

a < b

und eine stetige Vektorfunktion

f : [a, b] \to {I R}^{n}

, so daß 𝖐 :=

{f (t) : a \leq t \leq b} .

(D.h., es gibt stetige Funktionen

f_{1}, \dots, f_{n} : [a, b] \to I R

, so daß

f (t) = (f_{1} (t), \dots, f_{n} (t))

und 𝖐 das Bild der Funktion

f

{I R}^{n}

ist.)

Diese Darstellung der Kurve heißt auch Parameterdarstellung mit Hilfe des Parameterintervalls

[a, b]

. Die Stetigkeit ist notwendig, damit die Kurve zu einer „durchgezogenen“ Linie wird. Zwei Punkte

\bar{a}, \bar{b}

werden durch die Kurve 𝖐 verbunden, wenn

\bar{a}, \bar{b} \in 𝖐 .

1. Sei

f : [a, b] \to I R

stetig. Wir betrachten

[a, b]

als Parameterintervall und 𝖐 =

{(t, f (t)) : a \leq t \leq b}

. Dann ist die Funktion

f

(dargestellt im zweidimensionalen Raum

{I R}^{2}

) genau die Kurve 𝖐, die sich mit Hilfe der Vektorfunktion

g = (g_{1}, g_{2}) : [a, b] \to {I R}^{2}

beschreiben läßt, wobei

g_{1} (t) : = t

und

g_{2} (t) : = f (t) .

(vgl. Abb. 6.9)

2. Es sei

f_{1} (t) : = t \cdot cos t, f_{2} (t) : = t \cdot sin t

und

f = (f_{1}, f_{2}) : [0, 2 π] \to {I R}^{2}

. Dann ist

𝖐 = {(f_{1} (t), f_{2} (t)) : 0 \leq t \leq 2 π}

eine Kurve in

{I R}^{2}

, denn

f

ist eine stetige Vektorfunktion. (vgl. Abb. 6.10)

Definition. (bogenzusammenhängend ) Sei

M \subseteq {I R}^{n}

M

ist bogenzusammenhängend =Df

Zu je zwei Punkten

\bar{a}, \bar{b} \in M

gibt es eine Kurve 𝖐, die ganz zu

M

gehört und die Punkte

\bar{a}, \bar{b}

miteinander verbindet. (vgl. Abb. 6.11 a)

Satz 6.12 $($ Zwischenwertsatz $)$ Es sei $f : {I R}^{n} \to I R$ und $M \subseteq D (f)$ . Dann gilt $:$ Ist $M$ bogenzusammenhängend und $f$ stetig in $M$ und sind $\bar{a}, \bar{b} \in M,$ so daß $f (\bar{a}) < d < f (\bar{b})$ , dann gibt es ein $\bar{c} \in M,$ so daß $f (\bar{c}) = d .$ (vgl. Abb. 6.12)

Beweis. Nach Voraussetzung sind

\bar{a}, \bar{b} \in M

und

M

ist bogenzusammenhängend. Dann gibt es eine Kurve

𝖐

, die ganz zu

M

gehört und

\bar{a}

und

\bar{b}

verbindet. Folglich existiert ein Intervall

[a, b]

und eine stetige Funktion

g = (g_{1}, \dots, g_{n}) : [a, b] \to {I R}^{n},

so daß

𝖐 = {g (t) : a \leq t \leq b} \subseteq M,

und

\bar{a}, \bar{b} \in 𝖐

. Da

\bar{a}

und

\bar{b}

Bildelemente von

g

sind, existieren

a^{'}, b^{'} \in [a, b],

so daß

g (a^{'}) = \bar{a}

und

g (b^{'}) = \bar{b}

. Sei o.B.d.A.

a^{'} < b^{'}

. Wegen

g : [a, b] \to {I R}^{n}, f : {I R}^{n} \to I R

und

W (g) = 𝖐 \subseteq M \subseteq {I R}^{n}

und

M \subseteq D (f)

ist

f \circ g

[a, b]

definiert. Sei

h (t) : = f (g (t))

, und somit

h : [a, b] \to I R .

Wegen

[a^{'}, b^{'}] \subseteq [a, b]

ist

h

auch in

[a^{'}, b^{'}]

definiert, und es gilt

h (a^{'}) = f (\underset{= \bar{a}}{\underset{︸}{g (a^{'})}}) = f (\bar{a}) < d

und

h (b^{'}) = f (\underset{= \bar{b}}{\underset{︸}{g (b^{'})}}) = f (\bar{b}) > d .

Da die Verkettung stetiger Funktionen wieder stetig ist, ist

h

mit

h : [a^{'}, b^{'}] \to I R

stetig. Dann existiert nach dem Zwischenwertsatz für Funktionen einer Veränderlichen ein

c^{'} \in (a^{'}, b^{'})

, so daß

h (c^{'}) = d = f (\underset{: = \bar{c}}{\underset{︸}{g (c^{'})}})

\bar{c} = g (c^{'}) \in 𝖐 \subseteq M

leistet das Verlangte.

Bemerkung. In bogenzusammenhängenden Mengen haben stetige (reellwertige) Funktionen die Zwischenwerteigenschaft.

Satz 6.13 Sei $f : {I R}^{n} \to I R$ und $\bar{a} \in I R .$ Ist $f$ in $\bar{a}$ stetig und $f (\bar{a}) > 0$ $($ bzw. $f (\bar{a}) < 0)$ , dann gibt es eine Umgebung $U (\bar{a})$ , so daß $f (\bar{x}) > 0$ $($ bzw. $f (\bar{x}) < 0)$ für alle $\bar{x} \in U (\bar{a}) \cap D (f) .$

Beweis. Sei

f (\bar{a}) > 0

(den Fall

f (\bar{a}) < 0

beweist man analog). Angenommen, die Behauptung ist falsch. Dann gibt es für jede Umgebung

U (\bar{a})

ein

\bar{x} \in U (\bar{a}) \cap D (f)

, so daß

f (\bar{x}) \leq 0

. Für die Umgebungen

U (\bar{a}) : = U_{ε_{n}} (\bar{a})

mit

ε_{n} = \frac{1}{n}, n = 1, 2, 3, \dots

, existieren dann Elemente

{\bar{x}}_{n} \in U_{ε_{n}} (\bar{a}) \cap D (f)

, so daß

f ({\bar{x}}_{n}) \leq 0

. Es entsteht also eine Folge

({\bar{x}}_{n})

mit

{\bar{x}}_{n} \to \bar{a}

. Nach Voraussetzung ist

f

\bar{a}

stetig, folglich existiert

lim_{n \to \infty} f ({\bar{x}}_{n}) = f (\bar{a}) .

Wegen

f ({\bar{x}}_{n}) \leq 0

erhält man aus Satz 3.10 (6) sofort

f (\bar{a}) = lim f ({\bar{x}}_{n}) \leq 0

! (Siehe hierzu auch die Abbildungen 6.8 a und 6.8 b)

Definition. (Beschränktheit bei Funktionen) Sei

f : {I M}_{1} \to {I M}_{2}

und

M \subseteq D (f)

. (1)

f

ist in

M

beschränkt =Df

f (M) = {f (a) : a \in M}

ist beschränkt. (2)

f

ist beschränkt =Df

f

ist in

D (f)

beschränkt.

Bemerkung. Für

f : {I R}^{n} \to I R

und

M \subseteq {I R}^{n}

ist

f (M)

eine Menge von reellen Zahlen. Folglich gilt:

f (M)

ist beschränkt

\Leftrightarrow

f (M)

ist nach oben und nach unten beschränkt

\Leftrightarrow

es existiert ein

c \in I R,

so daß

| f (\bar{x}) | \leq c

für jedes

\bar{x} \in M .

Dann existieren

sup f (M) : = sup_{\bar{x} \in M} f (\bar{x})

und

inf f (M) : = inf_{\bar{x} \in M} f (\bar{x}) .

Wenn

sup f (M) \in f (M)

bzw.

inf f (M) \in f (M)

, dann sind

sup f (M)

bzw.

inf f (M)

das Maximum bzw. das Minimum von

f (M)

Bez.:

max_{\bar{x} \in M} f (\bar{x}) b z w . min_{\bar{x} \in M} f (\bar{x}) .

Satz 6.14 Es sei $f : {I R}^{n} \to I R$ und $M \subseteq {I R}^{n}$ . Ist $f$ in $M$ stetig, und ist $M$ beschränkt und abgeschlossen, dann ist auch $f (M)$ beschränkt und abgeschlossen.

Angenommen,

f (M)

ist nicht beschränkt. Dann gilt: Für jedes

c \in I R

gibt es ein

\bar{x} \in M,

so daß

| f (\bar{x}) | \geq c .

Speziell für

c = c_{i} = i, i = 1, 2, 3, \dots

existieren dann Elemente

{\bar{x}}_{1}, {\bar{x}}_{2}, {\bar{x}}_{3}, \dots \in M,

so daß

| f ({\bar{x}}_{i}) | \geq c_{i} = i .

Wegen

{\bar{x}}_{i} \in M

ist die Folge

({\bar{x}}_{i})

beschränkt, folglich besitzt

({\bar{x}}_{i})

einen Häufungspunkt

\bar{a}

und eine gegen

\bar{a}

konvergente Teilfolge

({\bar{x}}_{i_{j}}) .

Wenn

{\bar{x}}_{i_{j}} = \bar{a}

für ein

j,

dann ist

\bar{a} \in M .

Wenn

{\bar{x}}_{i_{j}} \neq \bar{a}

für alle

j,

dann ist

\bar{a}

ein Häufungspunkt der Menge

{{\bar{x}}_{i_{j}} : j = 0, 1, 2, \dots}

, und damit ist auch

\bar{a} \in M,

denn

M

ist abgeschlossen. Folglich ist

f

\bar{a}

definiert und stetig. Wegen

{\bar{x}}_{i_{j}} \to \bar{a}

gilt:

f ({\bar{x}}_{i_{j}}) \to f (\bar{a})

. Andererseits ist

| f ({\bar{x}}_{i_{j}}) | \geq c_{i_{j}} = i_{j} \to \infty

. Daher ist

(f ({\bar{x}}_{i_{j}}))

unbeschränkt und somit nicht konvergent. PICT

Wir zeigen nun, daß

f (M)

abgeschlossen ist, d.h., ist

b

ein Häufungspunkt von

f (M)

, dann ist

b \in f (M) .

Sei

b

ein Häufungspunkt von

f (M)

. Dann gibt es eine Folge

(b_{i})

mit

b_{i} \in f (M)

und

b_{i} \to b

. Wegen

b_{i} \in f (M)

gibt es ein

{\bar{x}}_{i} \in M

, so daß

b_{i} = f ({\bar{x}}_{i})

. Man erhält also eine Folge

({\bar{x}}_{i})

M

, die beschränkt ist, da ja

M

beschränkt ist. Folglich besitzt

({\bar{x}}_{i})

einen Häufungspunkt

\bar{a}

und eine Teilfolge

({\bar{x}}_{i_{j}})

, die gegen

\bar{a}

konvergiert. Wie im ersten Teil des Beweises ist

\bar{a} \in M

und damit

f (\bar{a}) \in f (M)

, folglich ist

f

\bar{a}

stetig. Wegen

{\bar{x}}_{i_{j}} \to \bar{a}

gilt:

b_{i_{j}} = f ({\bar{x}}_{i_{j}}) \to f (\bar{a}) = b \Rightarrow

Korollar. Sei

f : I R \to I R .

Ist

f

[a, b]

stetig, dann ist

f

[a, b]

beschränkt

(

und

f ([a, b])

ist abgeschlossen.

)

Satz 6.15 $($ Satz von Weierstraß $)$ Sei $f : {I R}^{n} \to I R, M \subseteq {I R}^{n}$ und $M \neq \emptyset .$ Dann gilt $:$ Ist $f$ in $M$ stetig und $M$ beschränkt und abgeschlossen, dann existieren Minimum und Maximum von $f$ in M (d.h., es gibt Elemente $\bar{a}, \bar{b} \in M$ , so daß $f (\bar{a}) = min f (M)$ und $f (\bar{b}) = max f (M)$ ).

Beweis. Wir zeigen, daß

f

M

ein Maximum besitzt; für das Minimum erfolgt der Beweis analog. Nach Satz 6.14 ist

f (M)

beschränkt, folglich existiert

α : = sup f (M) .

g.z.z.:

α \in M,

denn dann ist

α

das Maximum von

f (M) .

Wegen

α = sup f (M)

ist dann

α > f (\bar{x})

für alle

\bar{x} \in M .

Nach Definition des Supremums gilt: Für jedes

ε > 0

gibt es ein

b \in f (M)

, so daß

α > b > α - ε .

Also in jeder

ε

-Umgebung von

α

liegt ein Punkt

b \in f (M)

und

b \neq α;

somit ist

α

ein Häufungspunkt von

f (M)

. Nach Satz 6.14 ist

f (M)

abgeschlossen, folglich ist

α \in f (M) .

Korollar. Sei

f : I R \to I R

und

a < b

. Ist

f

[a, b]

stetig, dann gilt

:

(1)

f

besitzt in

[a, b]

ein Minimum und ein Maximum (d.h., es existieren

a^{'}, b^{'} \in [a, b]

, so daß

f (a^{'}) = max f ([a, b])

und

f (b^{'}) = min f ([a, b])

Beweis. (1) folgt direkt aus dem vorhergehenden Satz. (2). Minimum und Maximum von

f

sind Funktionswerte. Nach dem Zwischenwertsatz werden auch alle Zwischenwerte angenommen.

Definition. (gleichmäßige Stetigkeit ) Sei

f : {I M}_{1} \to {I M}_{2}

und

M \subseteq {I M}_{1}

f

ist in

M

gleichmäßig stetig =Df

M \subseteq D (f)

und für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0

, so daß für jedes

x, y \in M

gilt: Wenn

ρ_{1} (x, y) < δ

, so

ρ_{2} (f (x), f (y)) < ε

Stetigkeit in einer Menge ist immer punktweise Stetigkeit, d.h., eine Funktion

f

ist in einer Menge

M

stetig gdw

f

in jedem Punkt aus

M

stetig ist. Wir wollen jetzt anhand einer Funktion

f : M \to I R, M \subseteq I R

den Unterschied zwischen Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit von

f

in einer Menge

M

herausarbeiten, wobei man sich unter

M

ein Intervall vorstellen möge. (Wir wählen hierfür eine formale Schreibweise, um den Unterschied deutlicher hervortreten zu lassen.)

f

ist in

M

stetig

\Leftrightarrow

\forall y \in M \forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall x \in M (| x - y | < δ \to | f (x) - f (y) | < ε),

und

f

ist in

M

gleichmäßig stetig

\Leftrightarrow

\forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall x, y \in M (| x - y | < δ \to | f (x) - f (y) | < ε),

Bei der Stetigkeit in der Menge

M

hängt

δ

von

ε

und von der betrachteten Stelle

y \in M

ab; bei der gleichmäßigen Stetigkeit hängt

δ

nur von

ε

ab. Wir werden jetzt zeigen, daß aus der gleichmäßigen Stetigkeit die Stetigkeit folgt, daß aber die Umkehrung im allgemeinen falsch ist. Hierbei beschränken wir uns wieder auf reellwertige Funktionen.

Satz 6.16 Sei $f : {I R}^{n} \to I R$ und $M \subseteq D (f)$ . Ist $f$ in $M$ gleichmäßig stetig, dann ist $f$ in $M$ stetig.

Wählt man in der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit speziell

y = \bar{a}

, dann erhält man: Für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0,

so daß für jedes

\bar{x} \in M

gilt: Wenn

| \bar{x} - \bar{a} | < δ,

| f (\bar{x}) - f (\bar{a}) | < ε .

Bemerkung. An einem Beispiel zeigen wir, daß die Umkehrung von Satz 6.16 im allgemeinen falsch ist. Dazu sei

M = (0, 1) \subseteq I R

und

f (x) = \frac{1}{x},

also

f : (0, 1) \to I R .

Offenbar ist

f

als rationale Funktion stetig in

(0, 1)

f

ist aber nicht gleichmäßig stetig in diesem Intervall. (vgl. Abb. 6.14)

Speziell für

ε = 1

gäbe es dann ein

δ > 0,

so daß für jedes

x, y \in (0, 1)

gilt: Wenn

| x - y | < δ,

| f (x) - f (y) | < ε = 1 .

| f (x) - f (y) | = | f (\frac{1}{n}) - f (\frac{1}{2 n}) | = | n - 2 n | = n \geq ε = 1 .

Satz 6.17 Sei $f : {I R}^{n} \to I R$ und $M \subseteq D (f)$ . Ist $f$ in $M$ stetig und $M$ beschränkt und abgeschlossen, dann ist $f$ in $M$ gleichmäßig stetig.

Dann gibt es ein

ε > 0,

so daß für jedes

δ > 0

Elemente

\bar{x}, ȳ \in M

existieren mit

| \bar{x} - ȳ | < δ

und

| f (\bar{x}) - f (ȳ) | \geq ε .

Wir wählen jetzt

δ = δ_{i} : = \frac{1}{i}, i = 1, 2, 3, \dots .

Für

δ_{i}

existieren dann Elemente

{\bar{x}}_{i}, ȳ_{i} \in M

mit

| {\bar{x}}_{i} - ȳ_{i} | < δ_{i} < \frac{1}{i}

und

| f ({\bar{x}}_{i}) - f (ȳ_{i}) | \geq ε .

M

beschränkt ist, ist auch die Folge

({\bar{x}}_{i})

beschränkt. Folglich besitzt

({\bar{x}}_{i})

einen Häufungspunkt

\bar{a}

und eine gegen

\bar{a}

konvergente Teilfolge

{\bar{x}}_{i_{j}}

. Da

M

abgeschlossen ist, gilt (analog wie im Beweis von Satz 6.14)

\bar{a} \in M .

Damit ist

f

\bar{a}

definiert und stetig. Für die Teilfolge

(ȳ_{i_{j}})

von

(ȳ_{i})

gilt:

| ȳ_{i_{j}} - \bar{a} | \leq | \underset{\underset{j \to \infty}{\to} 0}{\underset{︸}{ȳ_{i_{j}} - {\bar{x}}_{i_{j}}}} | + | \underset{\underset{j \to \infty}{\to} 0}{\underset{︸}{{\bar{x}}_{i_{j}} - \bar{a}}} | \Rightarrow ȳ_{i_{j}} \to \bar{a} .

\underset{\geq ε}{\underset{︸}{| f ({\bar{x}}_{i_{j}}) - f (ȳ_{i_{j}}) |}} \leq \underset{< \frac{ε}{2}}{\underset{︸}{| f ({\bar{x}}_{i_{j}}) - f (\bar{a}) |}} + \underset{< \frac{ε}{2}}{\underset{︸}{| f (\bar{a}) - f (ȳ_{i_{j}}) |}} < ε

Korollar. Ist

f

[a, b]

stetig, dann ist

f

[a, b]

gleichmäßig stetig.

Beweis. Da

M : = [a, b]

beschränkt und abgeschlossen ist, folgt die Behauptung sofort aus Satz 6.17.

Satz 6.18 Sei $f : {I R}^{n} \to I R$ und $M \subseteq D (f)$ . Existiert eine Konstante $c \in I R,$ so daß für jedes $\bar{x}, ȳ \in M$ gilt $:$ $| f (\bar{x}) - f (ȳ) | \leq c \cdot | \bar{x} - ȳ |$ , dann ist $f$ in $M$ gleichmäßig stetig.

Beweis. Sei o.B.d.A.

c > 0

und

| f (\bar{x}) - f (ȳ) | \leq c \cdot | \bar{x} - ȳ |

für alle

\bar{x}, ȳ \in M .

Weiterhin sei

ε > 0

beliebig. Wir wählen

δ = \frac{ε}{c} .

Dann gilt für jedes

\bar{x}, ȳ \in M

mit

| \bar{x} - ȳ | < δ = \frac{ε}{c} :

| f (\bar{x}) - f (ȳ) | \leq c \cdot | \bar{x} - ȳ | < c \cdot δ = c \cdot \frac{ε}{c} = ε .

Definition. (Lipschitz-Stetigkeit ) Sei

f : {I R}^{n} \to I R

und

M \subseteq {I R}^{n}

f

ist in

M

Lipschitz-stetig =Df

M \subseteq D (f)

und es existiert eine Konstante

c \in I R

, so daß für jedes

\bar{x}, ȳ \in {I R}^{n}

gilt:

| f (\bar{x}) - f (ȳ) | \leq c \cdot | \bar{x} - ȳ |

Satz 6.18 besagt also, daß aus der Lipschitz-Stetigkeit die gleichmäßige Stetigkeit folgt.

Korollar. Sei

f : I R \to I R .

Ist

f

[a, b]

Lipschitz-stetig, dann ist

f

[a, b]

gleichmäßig stetig.

Als Wurzelfunktion ist

f

[a, b]

stetig. Da

[0, 1]

beschränkt und abgeschlossen ist, ist

f

[0, 1]

auch gleichmäßig stetig.

Dann gibt es ein

c > 0

, so daß

| f (x) - f (y) | \leq c \cdot | x - y |

für alle

x, y \in [0, 1] .

Insbesondere für

y = 0

und

x \in (0, 1]

beliebig gilt:

| f (x) - f (y) | = | \sqrt{x} - \sqrt{0} | = \sqrt{x} \leq c \cdot | x - 0 | = c \cdot x .

Also

\sqrt{x} \leq c \cdot x

und damit

x \leq c^{2} \cdot x^{2} \Rightarrow 1 \leq c^{2} \cdot x

für alle

x \in (0, 1]

. Schließlich folgt

\frac{1}{c^{2}} \leq x

für alle

x \in (0, 1] .

Bemerkung. Sei

M \subseteq I R

und

f : M \to I R .

Aus der Lipschitz-Stetigkeit von

f

M

erhält man für

x, y \in M

und

x \neq y

d.h., der sog. Differenzenquotient, der uns noch in der Differentialrechnung begegnen wird, ist in

M

durch

c

beschränkt.

Bemerkung. Lipschitz-Stetigkeit

\Rightarrow

gleichmäßige Stetigkeit

\Rightarrow

Stetigkeit. Die Umkehrung gilt in all diesen Fällen nicht.

Zunächst führen wir eine neue Bezeichnung ein: Eine in

{I R}^{n}

abgeschlossene und beschränkte Menge nennen wir auch kompakt. Wir werden den Kompaktheitsbegriff später noch präzisieren und zeigen, daß er in

{I R}^{n}

genau mit der obigen Bezeichnung zusammenfällt.

Ist eine stetige Funktion

f

an einer Stelle

a

positiv bzw. negativ, dann gibt es eine ganze Umgebung

U (a)

, so daß

f

U (a) \cap D (f)

positiv bzw. negativ ist.

Zum Abschluß dieses Kapitels betrachten wir nur noch reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen.

Bei solchen Funktionen interessiert man sich häufig für das links- bzw. rechtsseitige Verhalten der Funktion an einer bestimmten Stelle

a \in I R

Definition. (rechtsseitig bzw. linksseitig stetig)

f

ist an der Stelle

a

(oder kurz in

a

) rechtsseitig (bzw. linksseitig) stetig =Df

a \in D (f)

und für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0

, so daß für jedes

x \in D (f)

mit

x \geq a

(bzw.

x \leq a

) gilt: Wenn

| x - a | < δ

, so

| f (x) - f (a) | < ε

Definition. (rechtsseitiger bzw. linksseitiger Grenzwert ) Sei $a$ ein Häufungspunkt von $D_{r} (f, a) : = D (f) \cap {x : x > a}$

Für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0,

so daß für jedes

x \in D_{r} (f, a)

bzw. für jedes

x \in D_{l} (f, a)

gilt: Wenn

| x - a | < δ

, so

| f (x) - c | < ε

\begin{array}{l} Bez . & \lim_{x \to a, x > a} f (x) = \lim_{x ↘ a} f (x) = \lim_{x \to a + 0} f (x) = c & bzw . \\ \lim_{x \to a, x < a} f (x) = \lim_{x ↗ a} f (x) = \lim_{x \to a - 0} f (x) = c \end{array}

Beispiel. Sei

f (x) = {\begin{matrix} 1, für x \geq 0, \\ - 1, für x < 0. \end{matrix}

An der Stelle

a = 0

ist

f

rechtsseitig, aber nicht linksseitig stetig. Nach Definition ist

f (0) = 1

. Sei jetzt

ε > 0

beliebig und z.B.

δ = ε

. Dann gilt: Für jedes

x \in D_{r} (f, 0)

(also

x > 0

) mit der Eigenschaft

| x - 0 | < δ

ist

| \underset{= 1}{\underset{︸}{f (x)}} - \underset{= 1}{\underset{︸}{f (0)}} | = 0 < ε .

Aber z.B. für

ε = 1

und

δ > 0

beliebig gilt: Wenn

x \in D_{l} (f, 0)

(also

x < 0

), so ist

| \underset{= - 1}{\underset{︸}{f (x)}} - \underset{= 1}{\underset{︸}{f (0)}} | = | - 2 | \geq ε .

Andererseits besitzt

f

jedoch einen rechtsseitigen und einen linksseitigen Grenzwert:

1

bzw.

- 1,

die voneinander verschieden sind, und außerdem ist der linksseitige Grenzwert von

f

an der Stelle

0

verschieden von dem Funktionswert

f (0)

Satz 6.19 Sei $a$ ein Häufungspunkt von $D_{r} (f, a)$ bzw. von $D_{l} (f, a)$ . Dann gilt $:$ $f$ ist in $a$ rechtsseitig bzw. linksseitig stetig $\Leftrightarrow$ $a \in D (f)$ und $f$ besitzt in $a$ den rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert $f (a)$ $\Leftrightarrow$ $a \in D (f)$ und für jede Folge $(x_{n})$ mit $x_{n} \in D (f)$ gilt $:$ Wenn $x_{n} ↘ a$ bzw. $x_{n} ↗ a$ , so $f (x_{n}) \to f (a)$ .

Beweis. Die Beweise führt man völlig analog wie die zu den Sätzen 5.2 und 5.3, wo die Stetigkeit mit Hilfe des Grenzwertbegriffs charakterisiert wurde. Man schränkt sich hier lediglich auf die linksseitige bzw. rechtsseitige Umgebung des Punktes

a

ein.

Satz 6.20 Sei $a$ ein Häufungspunkt von $D_{r} (f, a)$ und von $D_{l} (f, a)$ . Dann gilt $:$ $f$ besitzt in $a$ einen Grenzwert $($ der Größe $c)$ $\Leftrightarrow$

f

besitzt in

a

einen rechtsseitigen Grenzwert

(: = c_{r})

und einen linksseitigen Grenzwert

(: = c_{l})

und beide Werte sind gleich

(c_{r} = c_{l} = c)

Beweis. (

\to

)

f

habe in

a

den Grenzwert

c

. Dann gilt: Für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0,

so daß für jedes

x \in D (f)

mit

x \neq a

gilt:

W e n n | x - a | < δ,

| f (x) - c | < ε .

Dies gilt insbesondere für alle

x

mit

x \in D_{r} (f, a) \subseteq D (f)

bzw.

x \in D_{l} (f, a) \subseteq D (f)

. Damit ist

c

sowohl rechts- als auch linksseitiger Grenzwert von

f

a

. (

\leftarrow

)

f

besitze in

a

einen rechtsseitigen Grenzwert

c_{r}

und einen linksseitigen Grenzwert

c_{l}

mit

c_{r} = c_{l} : = c

. Dann gilt: Für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ_{r} > 0

, so daß für jedes

x \in D_{r} (f, a)

Wenn

| x - a | < δ_{r},

| f (x) - \underset{= c_{r}}{\underset{︸}{c}} | < ε

Wenn

| x - a | < δ_{l},

| f (x) - \underset{= c_{l}}{\underset{︸}{c}} | < ε

Für

δ = min {δ_{r}, δ_{l}}

und für jedes

x \in \underset{D (f) - {a}}{\underset{︸}{D_{r} (f, a) \cup D_{l} (f, a)}}

gilt dann:

Satz 6.21 Sei $f$ in $a$ definiert und $a$ sei ein Häufungspunkt von $D_{r} (f, a)$ und von $D_{l} (f, a)$ . Dann gilt $:$ $f$ ist in $a$ stetig $\Leftrightarrow$ $f$ besitzt in $a$ einen rechtsseitigen und einen linksseitigen Grenzwert und beide Werte sind gleich $f (a)$ .

Beweis.

f

ist in

a

stetig

\Leftrightarrow

f

besitzt in

a

den Grenzwert

f (a)

(vgl. Satz 5.2)

\Leftrightarrow

f

besitzt in

a

den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert

f (a)

(vgl. Satz 6.20).

Korollar. Sei

f

a

definiert und sei

a

ein Häufungspunkt von

D_{r} (f, a)

und von

D_{l} (f, a)

. Dann gilt

:

f

ist in

a

stetig

\Leftrightarrow

f

ist in

a

linksseitig und rechtsseitig stetig.

Beweis.

f

ist in

a

stetig

\Leftrightarrow

f

besitzt in

a

den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert

f (a)

\Leftrightarrow

f

ist in

a

linksseitig und rechtsseitig stetig. (nach den Sätzen 6.21 und 6.19)

Bemerkung. Für die verschiedenen „Typen“ von Grenzwerten sind insgesamt 15 Fälle möglich: Für

x \to a, x ↗ a, x ↘ a, x \to \infty, x \to - \infty

besitzt

f

einen Grenzwert

c

bzw. den uneigentlichen Grenzwert

\infty

bzw.

- \infty

. 6.4 Klassifikation von Unstetigkeitsstellen

Definition. (hebbare Unstetigkeit ) Sei

a

ein Häufungspunkt von

D (f)

und

f

a

unstetig.

f

besitzt in

a

eine hebbare Unstetigkeit =Df Es existiert

lim_{x \to a} f (x) .

1. Sei

f (x) = {\begin{matrix} 1, für x \neq 0, \\ - 1, für x = 0. \end{matrix}

g (x) = {\begin{matrix} f (x), für x \neq 0, \\ \lim_{x \to 0} f (x), für x = 0 \end{matrix}

Definition. (Sprungstelle bzw. Sprung) Sei

a

ein Häufungspunkt von

D (f)

f

besitzt in

a

einen Sprung (der Größe

d > 0

) =Df

f

besitzt in

a

einen rechtsseitigen Grenzwert

c_{r}

und einen linksseitigen Grenzwert

c_{l}

mit

c_{r} \neq c_{l}

(und

d = | c_{r} - c_{l} |

a

heißt dann auch Sprungstelle.

Ist z.B.

f (x) = {\begin{matrix} 1, für x \geq 0, \\ - 1, für x < 0, \end{matrix}

dann besitzt

f

an der Stelle

0

einen Sprung der Größe 2. (vgl. Abb. 6.17)

Definition. Sei

a

ein Häufungspunkt von

D (f)

, und sei

f

a

unstetig. (1)

a

ist Unstetigkeitsstelle zweiter Art =Df

a

ist nicht Unstetigkeitsstelle erster Art

(d.h.,

a

ist Unendlichkeitsstelle oder rechtsseitiger bzw. linksseitiger Grenzwert existieren nicht).

Beispiele.

Die folgenden Abbildungen zeigen typische Beispiele für Unstetigkeitsstellen zweiter Art.

PICT

f : I R \to I R, f : {I R}^{n} \to I R, f : I R \to {I R}^{m}, f : {I R}^{n} \to {I R}^{m}

betrachtet, und gewisse Eigenschaften dieser Funktionen untersucht. Dabei traten immer wieder annähernd gleichlautende Definitionen und Sätze auf. Daher war es hilfreich, den Begriff des metrischen Raumes einzuführen, um grundlegende analytische Begriffe und Sätze nur einmal definieren bzw. beweisen zu müssen, um sie dann für die jeweils betrachteten konkreten metrischen Räume entsprechend interpretieren zu können.

Weiterhin haben wir beschränkte und abgeschlossene Teilmengen aus

{I R}^{n}

kompakt genannt. Dieser Begriff soll jetzt für beliebige metrische Räume neu definiert werden. Anschließend wird gezeigt, daß nach dieser neuen Definition die kompakten Mengen in

{I R}^{n}

genau die beschränkten und abgeschlossenen sind, so daß nachträglich die Bezeichnungsweise kompakt gerechtfertigt ist.

Definition. (Überdeckung) Es sei

(I M, ρ)

ein metrischer Raum und

M \subseteq I M .

Weiterhin sei

U

ein System von (offenen) Teilmengen von

I M

(also

U

\subseteq P o t (I M)

U

ist eine (offene) Überdeckung von

M

=Df

Zu jedem

a \in M

existiert ein

U \in

U

, so daß

a \in U

. (Die Mengen aus

U

überdecken die Menge

M

Definition. (kompakt) Es sei

(I M, ρ)

ein metrischer Raum und

M \subseteq I M .

M

ist kompakt =Df

Jede offene Überdeckung von

M

enthält eine endliche Teilüberdeckung von

M

(d.h., ist

U

eine offene Überdeckung von

M

, dann existiert ein endliches Teilsystem

U_{0} : = {U_{1}, \dots, U_{n}} \subseteq U

so daß schon

U_{0}

die Menge

M

überdeckt).

Satz 6.22 $($ Überdeckungssatz von Heine-Borel $)$ Es sei $M \subseteq {I R}^{n} .$ Ist $M$ beschränkt und abgeschlossen, und ist $U$ eine offene Überdeckung von $M,$ dann enthält $U$ eine endliche Teilüberdeckung von $M$ (d.h., $M$ ist kompakt im Sinne der obigen Definition).

Beweis. (mit Würfelschachtelung) Nach Voraussetzung ist

M

beschränkt, folglich ist

M

in einem Würfel

W_{0}

(mit endlicher Kantenlänge) enthalten, also

M \subseteq W_{0}

und

M = M \cap W_{0}

. Weiterhin ist

U

eine offene Überdeckung von

M

Völlig analog wie im Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstraß (Satz 6.4) wird

W_{0}

k : = 2^{n}

Teilwürfel

W_{0}^{1}, \dots, W_{0}^{k}

durch Halbierung der Kantenlängen zerlegt. Folglich ist

W_{0} = ⋃_{i = 1}^{k} W_{0}^{i}

und

M \cap W_{0} = M \cap ⋃_{i = 1}^{k} W_{0}^{i} = ⋃_{i = 1}^{k} (M \cap W_{0}^{i})

Dann gibt es wenigstens einen Teilwürfel

W_{0}^{i} : = W_{1}

, so daß

M \cap W_{0}^{i} = M \cap W_{1}

durch kein endliches Teilsystem von

U

überdeckt wird. Induktiv schließt man weiter. (Da der Induktionsschritt völlig analog zum Anfangsschritt erfolgt, wird er hier weggelasen.)

Es entsteht eine Würfelschachtelung

W_{0} \supseteq W_{1} \supseteq W_{2} \supseteq \dots

, so daß

M \cap W_{i}

durch kein endliches Teilsystem von

U

überdeckt wird und die Kantenlänge des

i

-ten Würfels,

l (W_{i})

, durch

l (W_{i}) = \frac{1}{2^{i}} \cdot l (W_{0})

gegeben ist.

Analog wie im Beweis von Satz 6.4 schachtelt die konstruierte Würfelfolge einen Punkt

\bar{c} \in I R

ein, d.h.,

\bar{c} \in ⋂_{i = 0}^{\infty} W_{i} .

Offenbar ist jede der Mengen

M \cap W_{i}

unendlich, da sonst

M \cap W_{i}

schon durch ein endliches Teilsystem von

U

überdeckt wird. Sei

ε^{'} > 0 .

Wir betrachten

U_{ε^{'}} (\bar{c})

und wählen

i

so groß, daß

W_{i} \subseteq U_{ε^{'}} (\bar{c})

und damit

M \cap W_{i} \subseteq U_{ε^{'}} (\bar{c})

. Dann liegen in jeder

ε^{'}

-Umgebung von

\bar{c}

unendlich viele Elemente aus

M

. Folglich ist

\bar{c}

ein Häufungspunkt von

M

. Da

M

abgeschlossen ist, gehört

\bar{c}

M

. Folglich gibt es eine offene Menge

U \in U

so daß

\bar{c} \in U

. Mit

\bar{c}

gehört noch eine ganze

ε

-Umgebung zu

U .

Es existiert also ein

ε > 0,

so daß

U_{ε} (\bar{c}) \subseteq U .

Wir wählen

i

jetzt so groß, daß

W_{i} \subseteq U_{ε} (\bar{c}) .

Dann ist

M \cap W_{i} \subseteq U

, folglich wird

M \cap W_{i}

schon durch eine Menge

U \in U

überdeckt. Dies ist ein Widerspruch dazu, daß

M \cap W_{i}

durch kein endliches Teilsystem von

U

überdeckt wird. Damit ist die obige Annahme falsch und der Satz bewiesen.

Satz 6.23 Es sei $M \subseteq {I R}^{n} .$ Ist $M$ kompakt (im Sinne der Definition in metrischen Räumen), dann ist $M$ beschränkt und abgeschlossen (in $I R$ ).

Beweis. Annahme: Es gilt nicht:

M

ist beschränkt und abgeschlossen. Dann ist

M

nicht beschränkt oder nicht abgeschlossen.

Dann gibt es eine unbeschränkte Folge

({\bar{x}}_{i})

M,

so daß

| {\bar{x}}_{i + 1} | \geq | {\bar{x}}_{i} | + 1

für jedes

i .

Offenbar ist

U

eine offene Überdeckung von

M

. Es gibt aber kein endliches Teilsystem

U_{0} \subseteq U

, durch das

M

überdeckt wird, denn jedes solche

U_{0}

könnte z.B. höchstens endlich viele der Folgeglieder überdecken, da diese zueinander einen Abstand der Größe wenigstens 1 haben. PICT

Für jedes

\bar{x} \in M

ist somit

\bar{x} \neq \bar{a},

also

| \bar{x} - \bar{a} | : = ε_{\bar{x}} > 0 .

Folglich ist

U : = {U_{\frac{ε_{\bar{x}}}{4}} (\bar{x}) : x \in M}

eine offene Überdeckung von

M .

Ist

U_{0} = {U_{ε_{1}} (\bar{x_{1}}), \dots U_{ε_{m}} (\bar{x_{m}})}

ein beliebiges endliches Teilsystem von

U

und

ε_{i} : = ε_{\frac{{\bar{x}}_{i}}{4}},

dann sei

ε : = min {ε_{1}, \dots, ε_{m}} = min {\frac{| \bar{x} - \bar{a} |}{4} : i = 1, \dots, m}

. Folglich ist

U ε (\bar{a}) \cap U_{ε_{i}} ({\bar{x}}_{i}) = \emptyset

(vgl. Abb. 6.21).

\bar{a}

ein Häufungspunkt von

M

ist, existiert ein

ȳ \in M,

so daß

ȳ \in U_{ε} (\bar{a})

und

ȳ \notin U_{ε_{i}} (\bar{x})

für

i = 1, \dots, m,

daher wird

ȳ

durch

U_{0}

nicht überdeckt. Folglich gibt es kein endliches Teilsystem

U_{0} \subseteq U

welches

M

überdeckt. PICT

Aus den letzen beiden Sätzen ergibt sich trivialerweise das folgende Korollar, das häufig ebenfalls als Überdeckungssatz von Heine-Borel bezeichnet wird.

Korollar. (Überdeckungssatz von Heine-Borel ) Es sei

M \subseteq {I R}^{n} .

M

ist beschränkt und abgeschlossen

\Leftrightarrow

M

ist kompakt.

Aus dem Korollar zu Satz 3.9 folgt, daß jede Cauchyfolge in

I R

konvergiert, d.h., sie besitzt dort einen Grenzwert. Das analoge Resultat gilt für Cauchyfolgen in

{I R}^{n}

. In

l Q

konvergieren Cauchyfolgen i.a. nicht, z.B. ist

{(1 + \frac{1}{n})}^{n}

eine Cauchyfolge in

l Q

, die in

l Q

aber keinen Grenzwert besitzt.

Es gibt also metrische Räume, in denen Cauchyfolgen immer konvergieren und solche, in denen das nicht der Fall ist. Dies gibt Anlaß zu der folgenden Definition.

Definition. (Vollständigkeit) Ein metrischer Raum

(I M, ρ)

ist vollständig =Df Jede Cauchyfolge aus

(I M, ρ)

konvergiert in

(I M, ρ)

Hieraus ergibt sich sofort, daß

I R, {I R}^{n}, l C

vollständige metrische Räume sind und

l Q

unvollständig ist.