Beweis. (Der Beweis erfolgt mit einer sog. Würfelschachtelung, die analog zu einer Intervallschachtelung induktiv konstruiert wird). Beweisidee: Es sei $M\subseteq {IR}^n$ und $M$ unendlich und beschränkt. Dann läßt sich $M$ in eine Kugel und damit auch in einen $n$-dimensionalen Würfel $W_0:=\left[a_1^0,b_1^0\right]\times \cdots \times \left[a_n^0,b_n^0\right]$ mit endlicher Kantenlänge einschließen, wobei $a_i^0,b_i^0\in IR,a_i^0<b_i^0$ und $b_i^0-a_i^0=b_j^0-a_j^0$ für $i,j=1,\dots ,n.$ Es gilt also $M\subseteq W_0.$ Die Kanten des Würfels werden durch die Intervalle $\left[a_i^0,b_i^0\right]$ auf den Koordinatenachsen repräsentiert (vgl. Abb. 6.4).

unendlich. Folglich gibt es einen Teilwürfel $W_0^i,$ so daß schon $M\cap W_0^i$ unendlich ist. Wir wählen einen solchen Teilwürfel $W_0^i$ aus und nennen ihn $W_1$. Es sei jetzt $W_m$ schon definiert mit den fogenden Eigenschaften: Die Kantenlänge von $W_m$ ist $l\left(W_m\right)=\frac{1}{2^m}\cdot l\left(W_0\right)$ und $M\cap W_m$ ist unendlich. Analog wie bei $W_0$ halbieren wir jetzt die Kanten von $W_m$ und erhalten eine Zerlegung von $W_m$ in $k$ Teilwürfel $W_m^1,\dots ,W_m^k$, so daß

     $W_m={\bigcup }_{i=1}^k{W}_m^i$ und $M\cap W_m={\bigcup }_{i=1}^k\left(M\cap W_m^i\right).$

Da nach Voraussetzung $M\cap W_m$ unendlich ist, existiert ein $W_m^i,$ so daß $M\cap W_m^i$ unendlich ist; sei $W_{m+1}:=W_m^i$.

Auf diese Weise entsteht eine Folge $W_0\supseteq W_1\supseteq \cdots \supseteq W_m\supseteq \cdots$ von ineinander geschachtelten Würfeln. Für den Würfel $W_m$ sei die $j$-te Würfelkante ($j=1,\dots ,n$) durch das Intervall $\left[a_j^m,b_j^m\right]$ gegeben. Offenbar ist $\left(\right.\left[a_j^m,b_j^m\right]{\left)\right.}_{m=0,1,2,\dots }$ dann eine Intervallschachtelung in $IR$. Nach dem Intervallschachtelungsaxiom gibt es ein $c_j,$ so daß $c_j\in \left[a_j^m,b_j^m\right]$ für fixiertes $j$ mit $j\in \left\{1,\dots ,n\right\}$ und $m=0,1,2,\dots .$

Behauptung: $\bar{c}=\left(c_1,\dots ,c_n\right)$ ist ein Häufungspunkt von $M$.

Offenbar ist $\bar{c}\in {\bigcap }_{m=0}^{\infty }{W}_m$. Sei $\epsilon >0$. Wegen $l\left(W_m\right)=\frac{1}{2^m}\cdot l\left(W_0\right)$ kann mit wachsendem $m$ die Kantenlänge des $m$-ten Würfels so klein gemacht werden, daß für hinreichend große $m$ der ganze Würfel $W_m$ zu $U_{\epsilon }\left(\bar{c}\right)$ gehört: $W_m\subseteq U_{\epsilon }\left(\bar{c}\right)$. Da $M\cap W_m\subseteq W_m$ und $M\cap W_m$ unendlich ist, liegen in $U_{\epsilon }\left(\bar{c}\right)$ unendlich viele Elemente aus $M;$ folglich ist $\bar{c}$ ein Häufungspunkt von $M.$   $$