Da die Werte dieser Funktionen reelle Zahlen sind, lassen sich die rationalen Operationen hierfür völlig analog wie bei Funktionen mit einer reellen Veränderlichen definieren. Eine anschauliche graphische Darstellung der Funktionen $f : {I R}^{n} \to I R$ ist für die Fälle $n \geq 3$ nicht mehr möglich. Für $n = 2$ erfolgt dies im dreidimensionalen Raum ${I R}^{3}$ (vgl. Abb. 6.6). Hierbei benutzt man in der Regel $x, y$ als unabhängige Variablen und $z$ als abhängige Variable.

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Abb. 6.6 - dynamisch: Bewegen der Abbildung mit der Maus

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Die Verkettung $f \circ g$ für beliebige Funktionen $g : A \to B$ und $f : B \to C$ ist nur dann definiert, wenn $W (g) \subseteq D (f)$ (vgl. Kapitel 5, Operationen für Funktionen). Daraus ergibt sich sofort, daß sich reellwertige Funktionen nur in Spezialfällen verketten lassen, $f$ müßte z.B. $I R$ in $I R$ abbilden.

Betrachtet man Funktionen $f : {I R}^{n} \to {I R}^{m}$ , wobei $m, n \geq 1$ und sonst beliebig sind (solche Funktionen heißen auch Vektorfunktionen und für $m = n$ auch Vektorfelder), dann läßt sich die Verkettung wieder allgemeiner ausführen.

Die oben betrachteten Funktionen sind wichtige Hilfsmittel zur Beschreibung der objektiven Realität mit Hilfe mathematischer Begriffe. Will man etwa das Gravitationsfeld der Erde durch eine Funktion $f$ beschreiben, dann muß die Funktion $f$ jedem Raumpunkt $\bar{a} \in {I R}^{3}$ die wirkende Schwerkraft $\bar{b}$ in diesem Punkt zuordnen. Die Kraft ist aber auch ein Vektor (aus ${I R}^{3}$ ), also ist $f : {I R}^{3} \to {I R}^{3}$ .

Ist $g : {I R}^{n} \to {I R}^{m}$ und $f : {I R}^{m} \to {I R}^{k}$ , dann ist $f \circ g : {I R}^{n} \to {I R}^{k} .$ Wenn nun $\bar{x} = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in {I R}^{n}$ , dann gibt es reelle Zahlen $y_{1}, \dots, y_{m}$ , so daß $g (\bar{x}) = (y_{1}, \dots, y_{m})$ . Ist zusätzlich $(y_{1}, \dots, y_{m}) \in D (f)$ , dann ist auch $f$ an der Stelle $(y_{1}, \dots, y_{m})$ definiert, folglich gibt es reelle Zahlen $z_{1}, \dots, z_{k}$ mit $f (y_{1}, \dots, y_{m}) = (z_{1}, \dots, z_{k})$ , also $f (g (x_{1}, \dots, x_{n})) = (z_{1}, \dots, z_{k})$ . Betrachtet man $\bar{x}$ als ein $n$ -Tupel von Variablen $x_{i}$ , dann lassen sich aus

$g (\bar{x}) = (y_{1}, \dots, y_{m})$

wie folgt $m$ reellwertige Funktionen definieren:

$g_{1} (\bar{x}) : = y_{1}, \dots, g_{m} (\bar{x}) : = y_{m} .$

Setzt man diese in $f (y_{1}, \dots, y_{m})$ ein, so entsteht

$f (y_{1}, \dots, y_{m}) = f (g_{1} (\bar{x}), \dots, g_{m} (\bar{x})) = (z_{1}, \dots, z_{k}) .$

Für $g : {I R}^{n} \to {I R}^{m}$ schreiben wir auch $g : = (g_{1}, \dots, g_{m})$ und schließlich

$(f \circ g) (\bar{x}) = f (g (\bar{x})) = f (g_{1} (\bar{x}), \dots, g_{m} (\bar{x})) = (z_{1}, \dots, z_{k}) .$

Bevor wir uns der Stetigkeit und weiterer wichtiger Eigenschaften von Vektorfunktionen zuwenden, betrachten wir noch einen wichtigen Spezialfall für $f : {I R}^{m} \to {I R}^{k},$ nämlich $f : I R \to {I R}^{k}$ , also $m = 1$ . Mit solchen Funktionen lassen sich sehr elegant sogenannte Kurven in mehrdimensionalen Räumen darstellen.

Als Beispiel wählen wir $k = 2$ (vgl. Abb. 6.7). In ${I R}^{2}$ sei ein Kreis mit dem Radius $r$ und dem Mittelpunkt $0 : = (0, 0)$ gegeben. Den Kreis kann man durch die Gleichung $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ beschreiben. Löst man diese Gleichung nach $y$ auf, so erhält man $y = \pm \sqrt{r^{2} - x^{2}} .$ Entsprechend des Vorzeichens entstehen zwei reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen, die jeweils den oberen bzw. den unteren Kreisbogen beschreiben. Der gesamte Kreisbogen läßt sich aber nicht durch eine reellwertige Funktion beschreiben. Ist $(x, y)$ der in der Abbildung dargestellte Punkt auf dem Kreis und $t$ der zugehörige Kreisbogen, dann ist offenbar

$x : = r \cdot cos t$ und $y : = r \cdot sin t .$

Durchläuft $t$ das Intervall $[0, 2 π]$ , dann durchläuft

$f (t) = (f_{1} (t), f_{2} (t)) : = (x, y) = (r \cdot cos t, r \cdot sin t)$

alle Punkte auf der gesamten Kreislinie; also das Bild

$f ([0, 2 π]) = {(f_{1} (t), f_{2} (t)) : t \in [0, 2 π]}$

zeigt den Kreis. (Eine solche Darstellung des Kreises bezeichnet man auch als eine Parameterdarstellung des Kreises, das Intervall $[0, 2 π]$ heißt hierbei Parameterintervall. Wir werden uns mit diesen „Kurven“ noch genauer befassen.)

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Bemerkung. Die wichtigsten Eigenschaften der Vektorfunktionen lassen sich aus den Eigenschaften ihrer Komponenten herleiten – diese Komponenten sind reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher. Daher werden wir uns vorwiegend mit reellwertigen Funktionen befassen. Um aber nicht für jeden konkreten euklidischen Raum die Definitionen (und auch Sätze) immer wieder neu formulieren (bzw. beweisen) zu müssen, hatten wir metrische Räume eingeführt. Die Ergebnisse sind dann jeweils für den entsprechenden Spezialfall zu interpretieren.

Im folgenden seien $({I M}_{1}, ρ_{1})$ und $({I M}_{2}, ρ_{2})$ metrische Räume, die wir kurz mit ${I M}_{1}$ bzw. mit ${I M}_{2}$ bezeichnen. (Für unsere Zwecke können wir uns darunter immer ${I R}^{n}, {I R}^{m}$ vorstellen.)