Beispiele (für stetige Funktionen)

(1) Sei $f:{IR}^n\to IR$, $c\in IR$ und $f\left(\bar{x}\right)=c$ für jedes $\bar{x}\in {IR}^n$ (konstante Funktion). Aus der Definition folgt unmittelbar, daß $f$ in ${IR}^n$ stetig ist.

(2) Sei $f:{IR}^2\to IR,D\left(f\right)={IR}^2$ und $f\left(x,y\right):=x+y$.

Behauptung: $f$ ist in ${IR}^2$ stetig.

Sei $\left(a,b\right)\in {IR}^2$ beliebig und $\epsilon >0$. Dann gilt

$|f\left(x,y\right)-f\left(a,b\right)|=|x+y-\left(a+b\right)|=|x-a+y-b|\le |x-a|+|y-b|:=\left(\star \right).$

g.z.z.: Es gibt ein $\delta >0,$ so daß für jedes $\left(x,y\right)\in D\left(f\right)$: Wenn $|\left(x,y\right)-\left(a,b\right)|<\delta$, so $\left(\star \right)<\epsilon$.

Es ist

     $|\left(x,y\right)-\left(a,b\right)|=\left|\left(x-a,y-b\right)\right|=\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2}.$

Wählt man $\delta :=\frac{\epsilon }{2},$ dann gilt

     $|\left(x,y\right)-\left(a,b\right)|<\delta$

     $\iff {\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2<{\delta }^2=\frac{{\epsilon }^2}{4}$

     $\Rightarrow {\left(x-a\right)}^2,{\left(y-b\right)}^2<\frac{{\epsilon }^2}{4}$

     $\Rightarrow |x-a|,|y-b|<\frac{\epsilon }{2}$.

Also $|f\left(x,y\right)-f\left(a,b\right)|\le \left(\star \right)=|x-a|+|y-b|<\epsilon$; damit leistet $\delta =\frac{\epsilon }{2}$ das Verlangte.