Satz 6.8 (Beweis)

Beweis. Zunächst gilt für beliebige Vektoren $\bar{c} = (c_{1}, \dots, c_{k})$ :

$| c_{i} | \leq | \bar{c} | \leq | c_{1} | + \dots + | c_{k} |$ für alle $i .$

Denn

$| c_{i} | = \sqrt{c_{i}^{2}} \leq \sqrt{c_{1}^{2} + \dots + c_{k}^{2}} = | \bar{c} | =$

$| (c_{1}, 0, \dots, 0) + \dots + (0, \dots, 0, c_{i}, 0, \dots, 0) + \dots + (0, \dots, 0, c_{k}) | \leq$

$| (c_{1}, 0, \dots, 0) | + \dots + | (0, \dots, 0, c_{k}) | = | c_{1} | + \dots + | c_{k} | .$

Wir kommen nun zum eigentlichen Beweis.

( $\to$ ) Sei $f$ in $\bar{a}$ stetig. Dann gilt: Für jedes $ε > 0$ gibt es ein $δ > 0$ , so daß für jedes $\bar{x} \in D (f)$ : Wenn $| \bar{x} - \bar{a} | < δ,$ so $| f (\bar{x}) - f (\bar{a}) | < ε$ .

Wegen $| f (\bar{x}) - f (\bar{a}) | = | (f_{1} (\bar{x}) - f_{1} (\bar{a}), \dots, f_{m} (\bar{x}) - f_{m} (\bar{a})) |$ erhält man nach den obigen Ausführungen

$| f_{i} (\bar{x}) - f_{i} (\bar{a}) | \leq | f (\bar{x}) - f (\bar{a}) | < ε$ für $i = 1, \dots, m .$

Also wenn $| \bar{x} - \bar{a} | < δ,$ so $| f_{i} (\bar{x}) - f_{i} (\bar{a}) | < ε$ für $i = 1, \dots, m .$

( $\leftarrow$ ) Seien jetzt $f_{1}, \dots, f_{m}$ in $\bar{a}$ stetig. Dann gilt für $i = 1, \dots, m$ : Für jedes $ε > 0$ gibt es ein $δ_{i} > 0$ , so daß für jedes $\bar{x} \in D (f_{i})$ : Wenn $| \bar{x} - \bar{a} | < δ_{i},$ so $| f_{i} (\bar{x}) - f_{i} (\bar{a}) | < \frac{ε}{m}$ .

Wir wählen $δ : = min {δ_{1}, \dots, δ_{m}}$ ; dann erhält man für $| \bar{x} - \bar{a} | < δ$ sofort $| f_{i} (x) - f_{i} (\bar{a}) | < \frac{ε}{m}$ , also

$| f (\bar{x}) - f (\bar{a}) | \leq | f_{1} (\bar{x}) - f_{1} (\bar{a}) | + \dots + | f_{m} (\bar{x}) - f_{m} (\bar{a}) | < m \cdot \frac{ε}{m} = ε .$

Folglich ist $f$ in $\bar{a}$ stetig. <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi
>C</mi><mi >T</mi>