Beweis. Nach Voraussetzung sind $\bar{a}, \bar{b} \in M$ und $M$ ist bogenzusammenhängend. Dann gibt es eine Kurve $𝖐$ , die ganz zu $M$ gehört und $\bar{a}$ und $\bar{b}$ verbindet. Folglich existiert ein Intervall $[a, b]$ und eine stetige Funktion $g = (g_{1}, \dots, g_{n}) : [a, b] \to {I R}^{n},$ so daß $𝖐 = {g (t) : a \leq t \leq b} \subseteq M,$ und $\bar{a}, \bar{b} \in 𝖐$ . Da $\bar{a}$ und $\bar{b}$ Bildelemente von $g$ sind, existieren $a^{'}, b^{'} \in [a, b],$ so daß $g (a^{'}) = \bar{a}$ und $g (b^{'}) = \bar{b}$ . Sei o.B.d.A. $a^{'} < b^{'}$ . Wegen $g : [a, b] \to {I R}^{n}, f : {I R}^{n} \to I R$ und $W (g) = 𝖐 \subseteq M \subseteq {I R}^{n}$ und $M \subseteq D (f)$ ist $f \circ g$ in $[a, b]$ definiert. Sei $h (t) : = f (g (t))$ , und somit $h : [a, b] \to I R .$ Wegen $[a^{'}, b^{'}] \subseteq [a, b]$ ist $h$ auch in $[a^{'}, b^{'}]$ definiert, und es gilt

$h (a^{'}) = f (\underset{= \bar{a}}{\underset{︸}{g (a^{'})}}) = f (\bar{a}) < d$ und

$h (b^{'}) = f (\underset{= \bar{b}}{\underset{︸}{g (b^{'})}}) = f (\bar{b}) > d .$

Da die Verkettung stetiger Funktionen wieder stetig ist, ist $h$ mit $h : [a^{'}, b^{'}] \to I R$ stetig. Dann existiert nach dem Zwischenwertsatz für Funktionen einer Veränderlichen ein $c^{'} \in (a^{'}, b^{'})$ , so daß $h (c^{'}) = d = f (\underset{: = \bar{c}}{\underset{︸}{g (c^{'})}})$ . $\bar{c} = g (c^{'}) \in 𝖐 \subseteq M$ leistet das Verlangte. <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>