Bemerkung. An einem Beispiel zeigen wir, daß die Umkehrung von Satz 6.16 im allgemeinen falsch ist. Dazu sei M=(0,1)⊆IR und f(x)=1x, also f:(0,1)→IR. Offenbar ist f als rationale Funktion stetig in (0,1). f ist aber nicht gleichmäßig stetig in diesem Intervall. (vgl. Abb. 6.14)
Angenommen, f ist in (0,1) gleichmäßig stetig.
Speziell für ε=1 gäbe es dann ein δ>0, so daß für jedes x,y∈(0,1) gilt: Wenn |x-y|<δ, so |f(x)-f(y)|<ε=1.
Wählt man x=1n und y=12n, dann ist
|x-y|=|1n-12n|=12n<δ
für hinreichend große n und
|f(x)-f(y)|=|f(1n)-f(12n)|=|n-2n|=n≥ε=1.
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