Bemerkung. An einem Beispiel zeigen wir, daß die Umkehrung von Satz 6.16 im allgemeinen falsch ist. Dazu sei $M=\left(0,1\right)\subseteq IR$ und $f\left(x\right)=\frac{1}{x},$ also $f:\left(0,1\right)\to IR.$ Offenbar ist $f$ als rationale Funktion stetig in $\left(0,1\right)$. $f$ ist aber nicht gleichmäßig stetig in diesem Intervall. (vgl. Abb. 6.14)

 

Angenommen, $f$ ist in $\left(0,1\right)$ gleichmäßig stetig.

Speziell für $\epsilon =1$ gäbe es dann ein $\delta >0,$ so daß für jedes $x,y\in \left(0,1\right)$ gilt: Wenn $|x-y|<\delta ,$ so $|f\left(x\right)-f\left(y\right)|<\epsilon =1.$

Wählt man $x=\frac{1}{n}$ und $y=\frac{1}{2n},$ dann ist

     $|x-y|=\left|\right.\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}\left|\right.=\frac{1}{2n}<\delta$

für hinreichend große $n$ und

     $|f\left(x\right)-f\left(y\right)|=\left|\right.f\left(\right.\frac{1}{n}\left)\right.-f\left(\right.\frac{1}{2n}\left)\right.\left|\right.=|n-2n|=n\ge \epsilon =1.$   !