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Bemerkung. An einem Beispiel zeigen wir, daß die Umkehrung von Satz 6.16 im allgemeinen falsch ist. Dazu sei M=(0,1)IR und f(x)=1x, also f:(0,1)IR. Offenbar ist f als rationale Funktion stetig in (0,1). f ist aber nicht gleichmäßig stetig in diesem Intervall. (vgl. Abb. 6.14)

 

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Angenommen, f ist in (0,1) gleichmäßig stetig.

Speziell für ε=1 gäbe es dann ein δ>0, so daß für jedes x,y(0,1) gilt: Wenn |x-y|<δ, so |f(x)-f(y)|<ε=1.

Wählt man x=1n und y=12n, dann ist

     |x-y|=|1n-12n|=12n<δ

für hinreichend große n und

     |f(x)-f(y)|=|f(1n)-f(12n)|=|n-2n|=nε=1. PICT   !