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Beispiel: Sei f(x)=x und M=[0,1]IR.

Als Wurzelfunktion ist f in [a,b] stetig. Da [0,1] beschränkt und abgeschlossen ist, ist f in [0,1] auch gleichmäßig stetig.

Angenommen, f ist in [0,1] Lipschitz-stetig.

Dann gibt es ein c>0, so daß |f(x)-f(y)|c|x-y| für alle x,y[0,1]. Insbesondere für y=0 und x(0,1] beliebig gilt:

     |f(x)-f(y)|=|x-0|=xc|x-0|=cx.

Also xcx und damit xc2x21c2x für alle x(0,1]. Schließlich folgt 1c2x für alle x(0,1]. PICT   !