Beispiel: Sei $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ und $M=\left[0,1\right]\subseteq IR.$

Als Wurzelfunktion ist $f$ in $\left[a,b\right]$ stetig. Da $\left[0,1\right]$ beschränkt und abgeschlossen ist, ist $f$ in $\left[0,1\right]$ auch gleichmäßig stetig.

Angenommen, $f$ ist in $\left[0,1\right]$ Lipschitz-stetig.

Dann gibt es ein $c>0$, so daß $|f\left(x\right)-f\left(y\right)|\le c\cdot |x-y|$ für alle $x,y\in \left[0,1\right].$ Insbesondere für $y=0$ und $x\in \left(0,1\right]$ beliebig gilt:

     $|f\left(x\right)-f\left(y\right)|=|\sqrt{x}-\sqrt{0}|=\sqrt{x}\le c\cdot |x-0|=c\cdot x.$

Also $\sqrt{x}\le c\cdot x$ und damit $x\le c^2\cdot x^2\Rightarrow 1\le c^2\cdot x$ für alle $x\in \left(0,1\right]$. Schließlich folgt $\frac{1}{c^2}\le x$ für alle $x\in \left(0,1\right].$   !