Beispiel: Sei f(x)=√x und M=[0,1]⊆IR.
Als Wurzelfunktion ist f in [a,b] stetig. Da [0,1] beschränkt und abgeschlossen ist, ist f in [0,1] auch gleichmäßig stetig.
Angenommen, f ist in [0,1] Lipschitz-stetig.
Dann gibt es ein c>0, so daß |f(x)-f(y)|≤c⋅|x-y| für alle x,y∈[0,1]. Insbesondere für y=0 und x∈(0,1] beliebig gilt:
|f(x)-f(y)|=|√x-√0|=√x≤c⋅|x-0|=c⋅x.
Also √x≤c⋅x und damit
x≤c2⋅x2⇒1≤c2⋅x für alle
x∈(0,1]. Schließlich
folgt 1c2≤x
für alle x∈(0,1].
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