Wichtige Eigenschaften stetiger Funktionen $f:{IR}^n\to IR$.

Zunächst führen wir eine neue Bezeichnung ein: Eine in ${IR}^n$ abgeschlossene und beschränkte Menge nennen wir auch kompakt. Wir werden den Kompaktheitsbegriff später noch präzisieren und zeigen, daß er in ${IR}^n$ genau mit der obigen Bezeichnung zusammenfällt.

(1) In bogenzusammenhängenden Mengen haben stetige Funktionen die Zwischenwerteigenschaft.

(2) Ist eine stetige Funktion $f$ an einer Stelle $a$ positiv bzw. negativ, dann gibt es eine ganze Umgebung $U\left(a\right)$, so daß $f$ in $U\left(a\right)\cap D\left(f\right)$ positiv bzw. negativ ist.

(3) Ist $M$ kompakt und $f$ stetig in $M$, dann ist auch $f\left(M\right)$ kompakt.

(4) Stetige Funktionen besitzen in kompakten Mengen ($\ne \varnothing$) ein Minimum und ein Maximum.

(5) Funktionen, die in kompakten Mengen stetig sind, sind dort auch gleichmäßig stetig.

(6) Lipschitz-Stetigkeit $\Rightarrow$ gleichmäßige Stetigkeit $\Rightarrow$ Stetigkeit. Die Umkehrung gilt in keinem der Fälle.

(7) Als wichtige Spezialfälle treten die entsprechenden Korollare für Funktionen einer Veränderlichen auf.