Beispiel. Sei $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\mathrm{1,}\text{ für }x\ge \mathrm{0,}\\ -\mathrm{1,}\text{ für }x<0.\end{array}$

An der Stelle $a=0$ ist $f$ rechtsseitig, aber nicht linksseitig stetig. Nach Definition ist $f\left(0\right)=1$. Sei jetzt $\epsilon >0$ beliebig und z.B. $\delta =\epsilon$. Dann gilt: Für jedes $x\in D_r\left(f,0\right)$ (also $x>0$) mit der Eigenschaft $|x-0|<\delta$ ist $|\underset{=1}{\underbrace{f\left(x\right)}}-\underset{=1}{\underbrace{f\left(0\right)}}|=0<\epsilon .$ Aber z.B. für $\epsilon =1$ und $\delta >0$ beliebig gilt: Wenn $x\in D_l\left(f,0\right)$ (also $x<0$), so ist $|\underset{=-1}{\underbrace{f\left(x\right)}}-\underset{=1}{\underbrace{f\left(0\right)}}|=|-2|\ge \epsilon .$ Andererseits besitzt $f$ jedoch einen rechtsseitigen und einen linksseitigen Grenzwert: $1$ bzw. $-1,$ die voneinander verschieden sind, und außerdem ist der linksseitige Grenzwert von $f$ an der Stelle $0$ verschieden von dem Funktionswert $f\left(0\right)$.