Beweis. (mit Würfelschachtelung) Nach Voraussetzung ist $M$ beschränkt, folglich ist $M$ in einem Würfel $W_0$ (mit endlicher Kantenlänge) enthalten, also $M\subseteq W_0$ und $M=M\cap W_0$. Weiterhin ist $\mathcal{U}$ eine offene Überdeckung von $M$.

Annahme: Es gibt keine endliche Teilüberdeckung von $M\cap W_0$.

Völlig analog wie im Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstraß (Satz 6.4) wird $W_0$ in $k:=2^n$ Teilwürfel $W_0^1,\dots ,W_0^k$ durch Halbierung der Kantenlängen zerlegt. Folglich ist

     $W_0={\bigcup }_{i=1}^k{W}_0^i$ und $M\cap W_0=M\cap {\bigcup }_{i=1}^k{W}_0^i={\bigcup }_{i=1}^k\left(M\cap W_0^i\right)$.

Dann gibt es wenigstens einen Teilwürfel $W_0^i:=W_1$, so daß $M\cap W_0^i=M\cap W_1$ durch kein endliches Teilsystem von $\mathcal{U}$ überdeckt wird. Induktiv schließt man weiter. (Da der Induktionsschritt völlig analog zum Anfangsschritt erfolgt, wird er hier weggelasen.)

Es entsteht eine Würfelschachtelung $W_0\supseteq W_1\supseteq W_2\supseteq \dots$, so daß $M\cap W_i$ durch kein endliches Teilsystem von $\mathcal{U}$ überdeckt wird und die Kantenlänge des $i$-ten Würfels, $l\left(W_i\right)$, durch $l\left(W_i\right)=\frac{1}{2^i}\cdot l\left(W_0\right)$ gegeben ist.

Analog wie im Beweis von Satz 6.4 schachtelt die konstruierte Würfelfolge einen Punkt $\bar{c}\in IR$ ein, d.h., $\bar{c}\in {\bigcap }_{i=0}^{\infty }{W}_i.$

Offenbar ist jede der Mengen $M\cap W_i$ unendlich, da sonst $M\cap W_i$ schon durch ein endliches Teilsystem von $\mathcal{U}$ überdeckt wird. Sei ${\epsilon }^{\prime }>0.$ Wir betrachten $U_{{\epsilon }^{\prime }}\left(\bar{c}\right)$ und wählen $i$ so groß, daß $W_i\subseteq U_{{\epsilon }^{\prime }}\left(\bar{c}\right)$ und damit $M\cap W_i\subseteq U_{{\epsilon }^{\prime }}\left(\bar{c}\right)$. Dann liegen in jeder ${\epsilon }^{\prime }$-Umgebung von $\bar{c}$ unendlich viele Elemente aus $M$. Folglich ist $\bar{c}$ ein Häufungspunkt von $M$. Da $M$ abgeschlossen ist, gehört $\bar{c}$ zu $M$. Folglich gibt es eine offene Menge $U\in \mathcal{U}$ so daß $\bar{c}\in U$. Mit $\bar{c}$ gehört noch eine ganze $\epsilon$-Umgebung zu $U.$ Es existiert also ein $\epsilon >0,$ so daß $U_{\epsilon }\left(\bar{c}\right)\subseteq U.$ Wir wählen $i$ jetzt so groß, daß $W_i\subseteq U_{\epsilon }\left(\bar{c}\right).$ Dann ist $M\cap W_i\subseteq U$, folglich wird $M\cap W_i$ schon durch eine Menge $U\in \mathcal{U}$ überdeckt. Dies ist ein Widerspruch dazu, daß $M\cap W_i$ durch kein endliches Teilsystem von $\mathcal{U}$ überdeckt wird. Damit ist die obige Annahme falsch und der Satz bewiesen.