Beweis. Annahme: Es gilt nicht: $M$ ist beschränkt und abgeschlossen. Dann ist $M$ nicht beschränkt oder nicht abgeschlossen.

Fall 1. $M$ ist nicht beschränkt.

Dann gibt es eine unbeschränkte Folge $\left({\bar{x}}_i\right)$ in $M,$ so daß $\left|{\bar{x}}_{i+1}\right|\ge \left|{\bar{x}}_i\right|+1$ für jedes $i.$

Sei $\mathcal{U}:=\left\{U_{\frac{1}{4}}\left(\overline{x}\right):x\in M\right\}$ .

Offenbar ist $\mathcal{U}$ eine offene Überdeckung von $M$. Es gibt aber kein endliches Teilsystem ${\mathcal{U}}_0\subseteq \mathcal{U}$ , durch das $M$ überdeckt wird, denn jedes solche ${\mathcal{U}}_0$ könnte z.B. höchstens endlich viele der Folgeglieder überdecken, da diese zueinander einen Abstand der Größe wenigstens 1 haben.

Fall 2. $M$ ist nicht abgeschlossen.

Dann gibt es einen Häufungspunkt $\overline{a}$ von $M$ mit $\overline{a}\notin M.$

Für jedes $\bar{x}\in M$ ist somit $\bar{x}\ne \overline{a},$ also $|\bar{x}-\overline{a}|:={\epsilon }_{\bar{x}}>0.$ Folglich ist $$\mathcal{U}:=\left\{U_{\frac{{\epsilon }_{\overline{x}}}{4}}\left(\overline{x}\right):x\in M\right\}$$ eine offene Überdeckung von $M.$

Behauptung: Kein endliches Teilsystem ${\mathcal{U}}_0\subseteq \mathcal{U}$ überdeckt $M.$

Ist ${\mathcal{U}}_0=\left\{U_{{\epsilon }_1}\left(\overline{x_1}\right),\dots U_{{\epsilon }_m}\left(\overline{x_m}\right)\right\}$ ein beliebiges endliches Teilsystem von $\mathcal{U}$ und ${\epsilon }_i:={\epsilon }_{\frac{{\bar{x}}_i}{4}},$ dann sei $\epsilon :=min\left\{{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_m\right\}=min\left\{\frac{|\bar{x}-\overline{a}|}{4}:i=1,\dots ,m\right\}$. Folglich ist $U\epsilon \left(\overline{a}\right)\cap U_{{\epsilon }_i}\left({\bar{x}}_i\right)=\varnothing$ (vgl. Abb. 6.21).

Da $\overline{a}$ ein Häufungspunkt von $M$ ist, existiert ein $ȳ\in M,$ so daß $ȳ\in U_{\epsilon }\left(\overline{a}\right)$ und $ȳ\notin U_{{\epsilon }_i}\left(\bar{x}\right)$ für $i=1,\dots ,m,$ daher wird $ȳ$ durch ${\mathcal{U}}_0$ nicht überdeckt. Folglich gibt es kein endliches Teilsystem ${\mathcal{U}}_0\subseteq \mathcal{U}$ welches $M$ überdeckt.   !   $$