In Kapitel 7 wurden zwei äquivalente Definitionen für die Differenzierbarkeit von Funktionen mit einer Veränderlichen angegeben. Wir werden jetzt die zweite der Definitionen, die die lineare Approximation benutzt, für Funktionen

f : {I R}^{n} \to I R

bzw.

f : {I R}^{n} \to {I R}^{m}

mit mehreren Veränderlichen verallgemeinern. Hierzu machen wir zunächst einen kleinen Exkurs in die lineare Algebra.

Eine lineare Abbildung

A : {I R}^{n} \to {I R}^{m}

(

{I R}^{n}, {I R}^{m}

Vektorräume mit kanonischer Basis) kann als Matrix aufgefaßt werden:

A = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) .

Die Elemente

\bar{x} \in {I R}^{n}, ȳ \in {I R}^{m}

sind dann sog. Spaltenvektoren:

\bar{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}), ȳ = (\begin{matrix} y_{1} \\ ⋮ \\ y_{m} \end{matrix}),

A \bar{x} = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} a_{1 i} x_{i} \\ ⋮ \\ \sum_{i = 1}^{n} a_{m i} x_{i} \end{matrix}) : = (\begin{matrix} y_{1} \\ ⋮ \\ y_{m} \end{matrix}) \in {I R}^{m}

Ist

m = 1

, dann besteht die Matrix

A

nur aus einer Zeile, die dann als Vektor in

{I R}^{n}

aufgefaßt werden kann. Hierfür wählen wir die Bezeichnung

A : = (a_{1}, \dots, a_{n})

. In diesem Fall schreibt man (der Einfachheit wegen aus drucktechnischen Gründen) die Vektoren

\bar{x} \in {I R}^{n}

als Zeilen :

\bar{x} = (x_{1}, \dots, x_{n})

. Dann ist

A \bar{x} = (a_{1}, \dots, a_{n}) \cdot (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i}

Ist zusätzlich

n = 1

, also

A : I R \to I R

, dann besteht die Matrix (bzw. der Vektor)

A

nur aus einer Komponente :

A = (a_{1})

. Wendet man

A

auf einen „Vektor“

\bar{x} = (x_{1})

aus

I R

an, so erhält man

A \bar{x} = a_{1} x_{1}

. Für

A

bzw.

\bar{x}

schreiben wir dann einfach

a_{1}

bzw.

x_{1}

Diese Bezeichnungsweise ausnutzend liefert die zweite Definition der Differenzierbarkeit aus Kapitel 7, 7/1/10 folgende Formulierung:

f

ist in

c \in I R

differenzierbar

\Leftrightarrow

$f$ ist in einer Umgebung $U (c)$ definiert, und es existiert eine lineare Abbildung $b : I R \to I R$ und eine Funktion $o (x) : I R \to I R$ mit $\frac{o (x)}{| x - c |} \underset{x \to c}{\to} 0$ , so daß für jedes $x \in U (c)$ gilt: $f (x) = f (c) + b \cdot (x - c) + o (x) .$

Diese Formulierung läßt sich sofort auf Funktionen

f : {I R}^{n} \to {I R}^{m}

und Elemente

\bar{c} \in {I R}^{n}

erweitern.

Definition. (Differenzierbarkeit, Ableitung) Sei

f : {I R}^{n} \to {I R}^{m}

und

\bar{c} \in {I R}^{n}

f

ist in

\bar{c}

differenzierbar (oder total differenzierbar) =Df

f

ist in einer Umgebung

U (\bar{c})

definiert, und es existiert eine lineare Abbildung

A : {I R}^{n} \to {I R}^{m}

und eine Funktion

o (\bar{x}) : {I R}^{n} \to {I R}^{m}

mit der Eigenschaft

\lim_{\bar{x} \to \bar{c}} \frac{o (\bar{x})}{| \bar{x} - \bar{c} |} = \bar{0},

so daß für jedes

\bar{x} \in U (\bar{c})

gilt:

f (\bar{x}) = f (\bar{c}) + A \cdot (\bar{x} - \bar{c}) + o (\bar{x})

Die Matrix

A

heißt dann 1. Ableitung von

f

an der Stelle

\bar{c}

. Bez.:

A : = f^{'} (\bar{c})

Als wichtigsten Spezialfall erhält man die Differenzierbarkeit bzw. die Ableitung einer Funktion

f : {I R}^{n} \to I R

an der Stelle

\bar{c} \in {I R}^{n}

A

besteht in diesem Falle nur aus einer Zeile. Die Ableitung

f^{'} (\bar{c})

ist dann ein Vektor (im allgemeinen ist

f^{'} (\bar{c})

eine Matrix). Dieser Vektor heißt auch Gradient von

f

an der Stelle

\bar{c}

(oder kurz in

\bar{c}

). Bez.:

f^{'} (\bar{c}) = g r a d f (\bar{c})

Das Wesen der Differenzierbarkeit besteht auch hier in der linearen Approximierbarkeit einer Funktion

f

in einer Umgebung

U (\bar{c})

; d.h.,

f

läßt sich in

U (\bar{c})

darstellen als

f (\bar{c}) + A (\bar{x} - \bar{c})

plus einem Rest

o (\bar{x})

, der in

U (\bar{c})

„klein“ ist, wobei hier ’klein’ bedeuten soll, daß

\lim_{\bar{x} \to \bar{c}} \frac{o (\bar{x})}{| \bar{x} - \bar{c} |} = \bar{0} (\in ρ^{m}) .

Durch

ȳ = A (\bar{x} - \bar{c})

wird eine Punktmenge in

{I R}^{n} \times {I R}^{m}

beschrieben. Die durch

ȳ : = t (\bar{x}) = f (\bar{c}) + A (\bar{x} - \bar{c})

definierte Punktmenge heißt Tangentialebene von

f

an der Stelle

\bar{c}

, und

t (\bar{x}) = f (\bar{c}) + A (\bar{x} - \bar{c})

heißt Gleichung der Tangentialebene.

Der Punkt

(\bar{c}, f (\bar{c}))

erfüllt diese Gleichung, d.h., er liegt in der Tangentialebene.

Der Anteil

A (\bar{x} - \bar{c})

von der Funktion

t (\bar{x})

heißt Differential (oder 1. Differential) von

f

\bar{c}

. Wir werden auf diese Begriffe noch einmal zurückkommen, insbesondere im Zusammenhang mit der Berechnung und Darstellung der Ableitung und damit auch der Tangentialebene und des Differentials.

Um die Analogie bei der Differenzierbarkeit von Funktionen einer und mehrerer Veränderlicher besser zu veranschaulichen, betrachten wir die folgenden beiden Spezialfälle.

Für

n = m = 1

(also

f : I R \to I R

und

c \in I R

) definiert

t (x) = f (c) + \underset{: = b}{\underset{︸}{A}} (x - c)

eine Gerade in

I R \times I R = {I R}^{2}

, die Tangente von

f

an der Stelle

c

Für

n = 2, m = 1

und

\bar{c} \in {I R}^{2}

wird durch

t (\bar{x}) = f (\bar{c}) + A (\bar{x} - \bar{c})

eine Ebene in

{I R}^{2} \times I R = {I R}^{3}

bestimmt, die offenbar den Punkt

(\bar{c}, f (\bar{c}))

enthält. In diesem Fall ist der Begriff „Tangentialebene“ wörtlich zu nehmen.

Wir haben bereits die Ableitung einer Funktion mit mehreren Veränderlichen definiert, wir haben aber noch kein praktikabeles Verfahren, um die Ableitung einer konkreten Funktion zu berechnen. Dazu betrachten wir zunächst Funktionen

f : {I R}^{n} \to I R

und definieren den Begriff der partiellen Ableitbarkeit.

Definition. (partielle Ableitung) Sei

f : {I R}^{n} \to I R, \bar{c} \in {I R}^{n}, \bar{x} = (x_{1}, \dots, x_{n})

und

f

in einer Umgebung

U (\bar{c})

definiert.

f

ist in

\bar{c}

partiell nach

x_{i}

differenzierbar (

i = 1, \dots, n

) =Df

Nach der früheren Differenzierbarkeitsdefinition bedeutet dies, daß die folgenden Limites existieren:

lim_{x_{i} \to c_{i}} \frac{φ (x_{i}) - φ (c_{i})}{x_{i} - c_{i}} = lim_{h \to 0} \frac{φ (c_{i} + h) - φ (c_{i})}{h},

für

h : = x_{i} - c_{i}

= lim_{x_{i} \to c_{i}} \frac{f (c_{i}, \dots, c_{i - 1}, x_{i}, c_{i + 1}, \dots, c_{n}) - f (\bar{c})}{x_{i} - c_{i}} .

Der Limes selbst (falls er existiert) heißt partielle Ableitung von

f

nach

x_{i}

an der Stelle

\bar{c}

(oder kurz: in

\bar{c}

). Bez.:

\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (\bar{c}) = f_{x_{i}} (\bar{c}) .

Für

h : = x_{i} - c_{i}

und

{\bar{ε}}_{i} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0) \in {I R}^{n}, i = 1, \dots, n

, wobei die Eins in

{\bar{ε}}_{i}

an der

i

-ten Stelle steht, existieren die folgenden Limites:

lim_{x_{i} \to c_{i}} \frac{φ (x_{i}) - φ (c_{i})}{x_{i} - c_{i}} = lim_{h \to 0} \frac{f (\bar{c} + h \cdot {\bar{ε}}_{i}) - f (\bar{c})}{h} .

\frac{\partial f}{\partial x} (\bar{c}) = lim_{x \to a} \frac{f (x, b) - f (a, b)}{x - a} = (f (x, b))^{'} (a) = (2 x b) (a) = 2 a b .

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) : = \frac{\partial}{\partial x} (f (x, y)) = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} y + 2 y) = 2 x y .

\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} y + 2 y) = x^{2} + 2 \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} (\bar{c}) = a^{2} + 2 .

Die Abbildung 8.1 zeigt die geometrische Veranschaulichung der partiellen Ableitungen für eine Funktion mit zwei Veränderlichen.

Die partielle Ableitung nach

x_{i}

gibt also den Anstieg der Tangente in Richtung der Achse

x_{i}

an. Wir werden diese Art der Ableitung noch einmal verallgemeinern zur sog. Richtungsableitung. Dazu geben wir uns (durch einen geeigneten Vektor) eine beliebige Richtung vor und betrachten den Anstieg der Tangente in diese Richtung, falls die zugrundegelegte Funktion dies zuläßt. Daraus ergibt sich folgende Definition.

Definition. (Richtungsableitung) Es sei

f : {I R}^{n} \to I R, \bar{c} \in {I R}^{n}

und

f

in einer Umgebung

U (\bar{c})

definiert. Weiterhin sei

\bar{r} \in {I R}^{n}

und

| \bar{r} | = 1 .

f

ist an der Stelle

\bar{c}

in Richtung

\bar{r}

differenzierbar =Df

Die Funktion

φ (h) : = f (\bar{c} + h \cdot \bar{r})

ist (als Funktion der einen Veränderlichen

h

) an der Stelle

0

differenzierbar; d.h., es existiert

lim_{h \to 0} \frac{φ (h) - φ (0)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{f (\bar{c} + h \cdot \bar{r}) - f (\bar{c})}{h} .

Bemerkung. (1) Der Vektor

\bar{r}

, der die Richtung festlegt, wird stets mit der Länge 1 gewählt, damit die Richtungsableitung nur von der Richtung und nicht von der Länge des Vektors

\bar{r}

abhängt. (2) Wie auch bei Funktionen einer Veränderlichen können Ableitung, partielle Ableitungen und Richtungsableitungen einer Funktion

f (\bar{x})

in einer Menge

M \subseteq D (f)

gebildet werden, wenn die entsprechenden Ableitungen in jedem Punkt der Menge existieren. Diese Ableitungen beschreiben neue in

M

definierte Funktionen, die wir der Reihe nach mit

f^{'}, \frac{\partial f}{\partial x_{i}} : = f_{x_{i}}, \frac{\partial f}{\partial \bar{r}} : = f_{\bar{r}}

bezeichnen.

Satz 8.1 Sei $f : {I R}^{n} \to {I R}^{m}$ und $\bar{c} \in {I R}^{n}$ . Ist $f$ in $\bar{c}$ differenzierbar, dann ist $f$ in $\bar{c}$ stetig.

Beweis. Sei

f

\bar{c}

differenzierbar. Dann existiert eine Umgebung

U (\bar{c})

, so daß für jedes

\bar{x} \in U (\bar{c})

gilt:

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) = A (\bar{x} - \bar{c}) + o (\bar{x}) .

Nach Satz 6.8 ist eine Vektorfunktion stetig, wenn alle ihre Komponenten stetig sind. Dies trifft insbesondere auf

A (\bar{x} - \bar{c})

zu. Die Komponenten sind aber als lineare Funktionen (nach Satz 6.11) stetig. Folglich gilt auch

A (\bar{x} - \bar{c}) \underset{\bar{x} - \bar{c}}{\to} \bar{0} .

Hieraus folgt die Behauptung.

<mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Bemerkung. Aus der partiellen Differenzierbarkeit nach allen Variablen folgt im allgemeinen noch nicht die Stetigkeit, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel. Es sei

f (x, y) = {\begin{array}{l} \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}, falls (x, y) \neq \bar{0}, \\ 0, falls (x, y) = \bar{0} . \end{array}

an der Stelle

(0, 0)

nach

x

und

y

differenzierbar, denn es ist

\frac{f (x, 0) - f (0, 0)}{x - 0} = \frac{0 - 0}{x} = 0 \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x} (\bar{0}) = 0

\frac{f (0, y) - f (0, 0)}{y - 0} = \frac{0 - 0}{y} = 0 \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} (\bar{0}) = 0 .

Aber

f

ist in

\bar{0}

nicht stetig, denn anderenfalls wäre

lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) = f (0, 0) = 0 .

Speziell für

x = y, x \neq 0

und

(x, y) \to (0, 0)

gilt dann

Die nächsten drei Sätze stellen wichtige Beziehungen zwischen partieller und totaler Differenzierbarkeit her.

Satz 8.2 Sei $f : {I R}^{n} \to I R$ und $\bar{c} \in {I R}^{n}$ . Ist $f$ in einer Umgebung $U (\bar{c})$ definiert und nach allen Variablen partiell differenzierbar und sind alle partiellen Ableitungen in $\bar{c}$ stetig, dann ist $f$ in $\bar{c}$ $($ total $)$ differenzierbar, und für jedes $\bar{x} \in U (\bar{c})$ gilt $f (\bar{x}) = f (\bar{c}) + \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (\bar{c}) \cdot (x_{i} - c_{i}) + o (\bar{x}) .$ (D.h., die lineare Abbildung $A : {I R}^{n} \to I R$ , die aufgrund der Differenzierbarkeit existiert, ist gegeben durch $A = (a_{1}, \dots, a_{n}) = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}} (\bar{c}), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}} (\bar{c}))$ und $A (\bar{x} - \bar{c}) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (\bar{c}) \cdot (x_{i} - c_{i}) .$ )

Beweis. Wir betrachten hier nur den Spezialfall

n = 3

. Dazu sei

\bar{x} = (x, y, z)

und

\bar{c} = (a, b, c)

(den allgemeinen Fall beweist man analog). Mit Hilfe des 1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung (leicht modifiziert) erhält man

f (x, y, z) - f (a, y, z) + f (a, y, z) - f (a, b, z) + f (a, b, z) - f (a, b, c) =

\frac{\partial f}{\partial x} (\underset{: = ū}{\underset{︸}{a + ϑ_{1} (x - a), y, z}}) \cdot (x - a) + \frac{\partial f}{\partial y} (\underset{: = \bar{v}}{\underset{︸}{a, b + ϑ_{2} (y - a), z}}) \cdot (y - b) +

\frac{\partial f}{\partial z} (\underset{: = \bar{w}}{\underset{︸}{a, b, c + ϑ_{3} (x - a)}}) \cdot (z - c) =

(nach dem 1. Mittelwertsatz)

\frac{\partial f}{\partial x} (ū) \cdot (x - a) + \frac{\partial f}{\partial y} (\bar{v}) \cdot (y - b) + \frac{\partial f}{\partial z} (\bar{w}) \cdot (z - c) =

\frac{\partial f}{\partial x} (\bar{c}) \cdot (x - a) + \frac{\partial f}{\partial y} (\bar{c}) \cdot (y - b) + \frac{\partial f}{\partial z} (\bar{c}) \cdot (z - c) +

\underset{: = r (\bar{x})}{\underset{︸}{[\frac{\partial f}{\partial x} (ū) - \frac{\partial f}{\partial x} (\bar{c})] \cdot (x - a) + \dots + [\frac{\partial f}{\partial x} (\bar{w}) - \frac{\partial f}{\partial x} (\bar{c})] \cdot (z - c)}} .

f (\bar{x}) = f (\bar{c}) + \frac{\partial f}{\partial x} (\bar{c}) \cdot (x - a) + \dots + \frac{\partial f}{\partial z} (\bar{c}) \cdot (z - c) + r (\bar{x}) .

Behauptung:

\frac{r (\bar{x})}{| \bar{x} - \bar{c} |} \underset{\bar{x} \to \bar{c}}{\to} 0.

Nach Voraussetzung sind die partiellen Ableitungen in

\bar{c}

stetig, folglich gibt es für jedes

ε > 0

ein

δ > 0,

so daß für jedes

\bar{x}

mit

| \bar{x} - \bar{c} | < δ

gilt:

| \frac{\partial f}{\partial x} (\bar{x}) - \frac{\partial f}{\partial x} (\bar{c}) | < \frac{ε}{3},

(im allgemeinen Fall ist der Betrag

< \frac{ε}{n}

Die obige Abschätzung gilt auch entsprechend für die partiellen Ableitungen nach

y

und nach

z

| \bar{x} - \bar{c} | < δ \Rightarrow | ū - \bar{c} |, \dots, | \bar{w} - \bar{c} | < δ,

| \frac{\partial f}{\partial x} (ū) - \frac{\partial f}{\partial x} (\bar{c}) | < \frac{ε}{3};

analog für

\bar{v}

und

\bar{w} .

| r (\bar{x}) | \leq \underset{< \frac{ε}{3}}{\underset{︸}{| \frac{\partial f}{\partial x} (ū) - \frac{\partial f}{\partial x} (\bar{c}) |}} \cdot \underset{\leq | \bar{x} - \bar{c} |}{\underset{︸}{| x - a |}} + \dots + \underset{< \frac{ε}{3}}{\underset{︸}{| \frac{\partial f}{\partial z} (\bar{w}) - \frac{\partial f}{\partial z} (\bar{c}) |}} \cdot \underset{\leq | \bar{x} - \bar{c} |}{\underset{︸}{| z - c |}}

\leq 3 \cdot \frac{ε}{3} \cdot | \bar{x} - \bar{c} | = ε \cdot | \bar{x} - \bar{c} | .

\frac{| r (\bar{x}) |}{| \bar{x} - \bar{c} |} \leq ε

für

0 < | \bar{x} - \bar{c} | < δ .

Bemerkung. Ist

f

in einer Umgebung

U (\bar{c})

definiert und nach allen Variablen partiell differenzierbar und sind alle partiellen Ableitungen in

\bar{c}

stetig, dann läßt sich

f (\bar{x})

U (\bar{c})

durch die Funktion

t (\bar{x}) : = f (\bar{c}) + \sum_{i = 1}^{n} \underset{: = a_{i} \in I R}{\underset{︸}{\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (\bar{c})}} \cdot (x_{i} - c_{i})

Satz 8.3 Sei $f : {I R}^{n} \to I R$ und $\bar{c} \in {I R}^{n}$ . Ist $f$ in $\bar{c}$ differenzierbar (d.h., es gibt reelle Zahlen $a_{1}, \dots, a_{n}$ , so daß $f (\bar{x}) = f (\bar{c}) + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (x_{i} - c_{i}) + o (\bar{x}$ ) für alle $\bar{x}$ in einer Umgebung $U (\bar{c})$ ), dann existieren alle partiellen Ableitungen von $f$ in $\bar{c}$ , und es ist $a_{i} = \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (\bar{c}) .$ (Die Ableitung $f^{'} (\bar{c}) : = (a_{1}, \dots, a_{n})$ ist also durch die partiellen Ableitungen eindeutig bestimmt.)

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (x_{i} - c_{i}) + o (\bar{x})

\bar{x} = (c_{1}, \dots, c_{i - 1}, x_{i}, c_{i + 1}, \dots, c_{n}) = \bar{c} + h {\bar{ε}}_{i}

mit

h = x_{i} - c_{i}

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) = f (\bar{c} + h {\bar{ε}}_{i}) - f (\bar{c}) = a_{i} \cdot h + o (\bar{x}) \Leftrightarrow

\frac{f (\bar{c} + h {\bar{ε}}_{i}) - f (\bar{c})}{h} = a_{i} + \underset{\underset{h \to 0}{\to} 0}{\underset{︸}{\frac{o (\bar{x})}{h}}} .

\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (\bar{c}) = lim_{h \to 0} \frac{f (\bar{c} + h {\bar{ε}}_{i}) - f (\bar{c})}{h} = a_{i} .

Satz 8.4 Sei $f : {I R}^{n} \to {I R}^{m}, f = (f_{1}, \dots, f_{m})$ und $\bar{c} \in {I R}^{n}$ . Ist $f$ in $\bar{c}$ differenzierbar (d.h., es gibt eine lineare Abbildung $A : {I R}^{n} \to {I R}^{m}$ , also eine $(m \times n)$ -Matrix $A = {(a_{j i})}_{\binom{i = 1, \dots n}{j = 1, \dots, m}}$ , so daß $f (\bar{x}) = f (\bar{c}) + A (\bar{x} - \bar{c}) + o (\bar{x})$ für alle $\bar{x}$ in einer Umgebung $U (\bar{c})$ ), dann existieren alle partiellen Ableitungen $\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} (\bar{c}), i = 1, \dots, n, j = 1, \dots, m,$ und es ist $a_{j i} = \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} (\bar{c}) .$ (Die Abbildung $A$ ist also eindeutig bestimmt durch die partiellen Ableitungen $\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} (\bar{c}) .)$

Bemerkung. Die Abbildung

A : {I R}^{n} \to {I R}^{m}

, also die 1. Ableitung der Vektorfunktion

f

, heißt auch Funktionalmatrix oder Jacobimatrix von

f

\bar{c}

. Bez.:

f^{'} (\bar{c}) = (\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} (\bar{c}) & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} (\bar{c}) \\ ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} (\bar{c}) & \dots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} (\bar{c}) \end{matrix}) : = \frac{\partial (f_{1}, \dots, f_{m})}{\partial (x_{1}, \dots, x_{n})} (\bar{c}) .

Ist

m = 1

, dann besteht die Matrix

A = f^{'} (\bar{c}) = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}} (\bar{c}), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}} (\bar{c}))

nur aus einer Zeile. In diesem Falle hat die 1. Ableitung oder der Gradient von

f

die Gestalt

f^{'} (\bar{c}) = g r a d f (\bar{c}) = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}}) (\bar{c}) .

Ist

f

in einer ganzen Umgebung

U (\bar{c})

differenzierbar, dann ist durch

\bar{a} \mapsto f^{'} (\bar{a})

für jedes

\bar{a} \in U (\bar{c})

eine Funktion

f^{'}

definiert. Diese Funktion bezeichnen wir mit

f^{'} = (\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{matrix}) = \frac{\partial (f_{1}, \dots, f_{m})}{\partial (x_{1}, \dots, x_{n})};

für

m = 1

ist

f^{'} = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}}) = g r a d f

. Für das Differential von

f

an der Stelle

\bar{c}

schreiben wir auch

d f (\bar{x}, \bar{c})

oder kurz

d f (\bar{x})

. Mit dieser Bezeichnung läßt sich die Tangentialebene folgendermaßen darstellen:

Wir werden jetzt noch gewisse Techniken im Umgang mit Differentialen entwickeln, die für manche Anwendungen sehr hilfreich sind. Dazu betrachten wir zunächst den eindimensionalen Fall

f : I R \to I R

und

f^{'} (c) = \frac{d f}{d x} (c) = \frac{d y}{d x} (c)

für

y = f (x)

\frac{d y}{d x} (c)

gibt den Anstieg der Tangente von

f

c

an. Faßt man die Zahl

f^{'} (c)

als Bruch

\frac{d y}{d x}

auf, dann erhält man

d y = f^{'} (c) d x

(

d y

hängt hierbei natürlich von

c

ab). Läßt man in der „Verhältniszahl“

f^{'} (c) = \frac{d y}{d x}

den „Nenner“

d x

konstant, dann verändert sich mit

c

nur noch

d y

, d.h.,

d y

ist dann eine Funktion von

c

. (vgl. Abb. 8.4)

Sei jetzt

f : {I R}^{n} \to I R

. Manchmal schreibt man für

x_{i} - c_{i}

auch

d x_{i}

und damit

\bar{x} - \bar{c} = (x_{1} - c_{1}, \dots, x_{n} - c_{n}) = (d x_{1}, \dots, d x_{n}) : = d \bar{x} .

d f (\bar{x}, \bar{c}) = f^{'} (\bar{c}) \cdot (\bar{x} - \bar{c}) = f^{'} (\bar{c}) \cdot d \bar{x} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (\bar{c}) \cdot d x_{i} .

Betrachtet man die

d x_{i}

als Konstante, dann hängt

d f (\bar{x}, \bar{c})

nur von

\bar{c}

ab. Damit ist das Differential für die Funktion

f : {I R}^{n} \to I R

wieder eine Abbildung aus

{I R}^{n}

I R

d f (\bar{c}) : {I R}^{n} \to I R

. Die Ableitung

f^{'} (\bar{c})

(mit veränderlichem

\bar{c}

) ist hingegen eine Vektorfunktion

f^{'} (\bar{c}) = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}}) (\bar{c}) : {I R}^{n} \to {I R}^{n} .

Die Ableitung von

f^{'}

(falls sie existiert) ist dann schon eine Matrix (Funktionalmatrix) usw. Die „Dimension“ der Ableitung wird also größer, die des Differentials nicht. Dies ist ein Vorteil, wenn man mit höheren Ableitungen bzw. Differentialen umgehen will.

Wir betrachten jetzt ein einfaches Beispiel für die Berechnung der Tangentialebene.

Beispiel. Es sei

f (x, y) = x^{2} + y^{2} .

Gesucht ist die Gleichung der Tangentialebene von

f

an der Stelle

\bar{c} = (1, 1)

. (vgl. Abb. 8.5; ein weiteres Beispiel für die Darstellung einer Funktion und der Tangentialebene an einer Stelle ist in den Abb. 8.6 a und 8.6 b gegeben.)

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = 2 x \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x} (1, 1) = 2,

\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = 2 y \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} (1, 1) = 2 .

z = t (x, y) = f (1, 1) + \frac{\partial f}{\partial x} (1, 1) \cdot (x - 1) + \frac{\partial f}{\partial x} (1, 1) \cdot (y - 1)

Die Ebene geht durch die drei Punkte

(1, 1, 2), (1, 0, 0), (0, 1, 0)

, wodurch die Ebene schon eindeutig bestimmt ist.

In dem folgenden Satz wird nachgewiesen, daß man aus der totalen Differenzierbarkeit die Richtungsableitbarkeit erhält und daß sich die Richtungsableitung mit Hilfe der partiellen Ableitungen berechnen läßt.

Satz 8.5 Sei $f : {I R}^{n} \to I R$ und $\bar{c} \in {I R}^{n}$ . Ist $f$ in $\bar{c}$ differenzierbar, dann ist $f$ an der Stelle $\bar{c}$ in jede Richtung $\bar{r}$ $($ mit $| \bar{r} | = 1)$ differenzierbar, und es ist $f_{\bar{r}} (\bar{c}) = f^{'} (\bar{c}) \cdot \bar{r} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (\bar{c}) \cdot r_{i}$ , wobei $\bar{r} = (r_{1}, \dots, r_{n})$ .

Beweis. Nach Voraussetzung gilt für alle

\bar{x}

aus einer Umgebung

U (\bar{c})

f (\bar{x}) = f (\bar{c}) + f^{'} (\bar{c}) \cdot (\bar{x} - \bar{c}) + o (\bar{x})

Speziell für

\bar{x} : = \bar{c} + h \bar{r} \in U (\bar{c})

erhält man dann

f (\bar{c} + h \bar{r}) - f (\bar{c}) = f^{'} (\bar{c}) \cdot (\underset{h \bar{r}}{\underset{︸}{\bar{c} + h \bar{r} - \bar{c}}}) + o (\bar{x})

\frac{f (\bar{c} + h \bar{r}) - f (\bar{c})}{h} = f^{'} (\bar{c}) \cdot \bar{r} + \underset{\underset{}{\to} 0}{\underset{︸}{\frac{o (\bar{x})}{h}}} .

lim_{h \to 0} \frac{f (\bar{c} + h \bar{r}) - f (\bar{c})}{h} = f^{'} (\bar{c}) \cdot \bar{r} .

Andererseits ist dieser Limes gleich

f_{\bar{r}} (\bar{c})

. Hieraus folgt die Behauptung.

Wir befassen uns jetzt mit der Differenzierbarkeit zusammengesetzter Funktionen. Da sich die Ableitung einer Vektorfunktion auf die Ableitung ihrer reellwertigen Komponenten zurückführen läßt, werden wir uns im folgenden vorwiegend mit reellwertigen Funktionen befassen.

Satz 8.6 $($ Differentiation rationaler Funktionen $)$ Seien $f, g : {I R}^{n} \to I R$ und $f, g$ in $\bar{c}$ differenzierbar. Dann gilt $:$ $(1)$

f \pm g

und

f \cdot g

sind in

\bar{c}

differenzierbar, und es ist

{(f \pm g)}^{'} (\bar{c}) = f^{'} (\bar{c}) \pm g^{'} (\bar{c}) (\Rightarrow d (f \pm g) = d f \pm d g)

{(f \cdot g)}^{'} (\bar{c}) = f^{'} (\bar{c}) \cdot g (\bar{c}) + f (\bar{c}) \cdot g^{'} (\bar{c}) (\Rightarrow d (f \cdot g) = g \cdot d f + f \cdot d g)

(2)

Ist

g (\bar{x}) \neq 0

für jedes

\bar{x}

in einer Umgebung

U (\bar{c})

, dann ist

\frac{f}{g}

\bar{c}

differenzierbar, und es ist

(\frac{f}{g})^{'} (\bar{c}) = \frac{f^{'} (\bar{c}) \cdot g (\bar{c}) - f (\bar{c}) \cdot g^{'} (\bar{c})}{g^{2} (\bar{c})} (\Rightarrow d (\frac{f}{g}) = \frac{g \cdot d f - f \cdot d g}{g^{2}}) .

Beweis. Den Beweis führt man ähnlich wie für Funktionen einer reellen Veränderlichen; man hat hier lediglich alle Beweisschritte für die partiellen Ableitungen vorzunehmen.

Satz 8.7 $($ Spezialfall für die Kettenregel $)$ Es sei $g : {I R}^{n} \to I R$ und $f : I R \to I R$ $($ also $f \circ g : {I R}^{n} \to I R)$ . Ist $g$ in $\bar{c}$ und $f$ in $g (\bar{c})$ differenzierbar, dann ist $f \circ g$ in $\bar{c}$ differenzierbar, und es ist ${(f \circ g)}^{'} (\bar{c}) = f^{'} (g (\bar{c})) \cdot g^{'} (\bar{c})$ .

Beweis. Sei

b = g (\bar{c})

. Nach Voraussetzung ist

g

\bar{c}

und

f

b = g (\bar{c})

differenzierbar. Damit gilt:

g (\bar{x}) - g (\bar{c}) = g^{'} (\bar{c}) \cdot (\bar{x} - \bar{c}) + o_{1} (\bar{x})

für alle

\bar{x}

in einer Umgebung

U (\bar{c})

und

\frac{o_{1} (\bar{x})}{| \bar{x} - \bar{c} |} \underset{\bar{x} \to \bar{c}}{\to} 0

, und es ist

für alle

y

in einer Umgebung

U (b)

und

\frac{o_{2} (y)}{| y - b |} \underset{y \to b}{\to} 0 .

g

\bar{c}

differenzierbar, also dort auch stetig ist, gilt für

\bar{x} \to \bar{c}

auch

g (\bar{x}) \to g (\bar{c})

. Nach Voraussetzung strebt

o_{2} (y)

für

y \to b

von höherer als 1. Ordnung gegen null, d.h., es gibt eine Funktion

r (y)

, so daß

o_{2} (y) = r (y) \cdot (y - b)

und

r (y) \underset{y \to b}{\to} 0

(f \circ g) (\bar{x}) - (f \circ g) (\bar{c}) = f (\underset{= y}{\underset{︸}{g (\bar{x})}}) - f (\underset{= b}{\underset{︸}{g (\bar{c})}}) =

f^{'} (g (\bar{c})) \cdot (g^{'} (\bar{c}) \cdot (\bar{x} - \bar{c}) + o_{1} (x)) + o_{2} (g (\bar{x})) =

f^{'} (g (\bar{c})) \cdot g^{'} (\bar{c}) \cdot (\bar{x} - \bar{c}) + \underset{: = o (\bar{x})}{\underset{︸}{f^{'} (g (\bar{x})) \cdot o_{1} (x) + o_{2} (g (\bar{x}))}} .

\frac{o (\bar{x})}{| \bar{x} - \bar{c} |} \underset{\bar{x} \to \bar{c}}{\to} 0.

f^{'} (g (\bar{c}))

ist konstant, folglich gilt

f^{'} (g (\bar{c})) \cdot \frac{o_{1} (\bar{x})}{| \bar{x} - \bar{c} |} \underset{\bar{x} \to \bar{c}}{\to} 0.

\frac{| o_{2} (g (\bar{x})) |}{| \bar{x} - \bar{c} |} = \frac{| r (g (\bar{x})) \cdot (g (\bar{x}) - g (\bar{c})) |}{| \bar{x} - \bar{c} |}

= | r (g (\bar{x})) | \cdot \frac{| g (\bar{x}) - g (\bar{c}) |}{| \bar{x} - \bar{c} |} = | r (g (\bar{x})) | \cdot \frac{| g^{'} (\bar{c}) \cdot (\bar{x} - \bar{c}) + o_{1} (\bar{x}) |}{| \bar{x} - \bar{c} |}

\leq | r (g (\bar{x})) | \cdot (\frac{| g^{'} (\bar{c}) | \cdot | \bar{x} - \bar{c} |}{| \bar{x} - \bar{c} |} + \frac{| o_{1} (\bar{x}) |}{| \bar{x} - \bar{c} |})

= | r (g (\bar{x})) | \cdot (\underset{konstant}{\underset{︸}{| g^{'} (\bar{c}) |}} + \underset{\underset{\bar{x} \to \bar{c}}{\to} 0}{\underset{︸}{\frac{| o_{1} (\bar{x}) |}{| \bar{x} - \bar{c} |}}}) \underset{\bar{x} \to \bar{c}}{\to} 0.

t (\bar{x}) : = (f \circ g) (\bar{c}) + (\underset{\in I R}{\underset{︸}{f^{'} (g (\bar{c}))}} \cdot \underset{\in {I R}^{n}}{\underset{︸}{g^{'} (\bar{c})}}) \cdot (\bar{x} - \bar{c})

Satz 8.8 $($ Kettenregel $)$ Es sei $g : {I R}^{n} \to {I R}^{m}$ und $f : {I R}^{m} \to {I R}^{k}$ $($ also $f \circ g : {I R}^{n} \to {I R}^{k})$ . Ist $g$ in $\bar{c}$ und $f$ in $g (\bar{c})$ differenzierbar, dann ist $f \circ g$ in $\bar{c}$ differenzierbar, und es ist ${(f \circ g)}^{'} (\bar{c}) = f^{'} (g (\bar{c})) \cdot g^{'} (\bar{c})$ . (Das Produkt der „inneren“ und der „äußeren“ Ableitung ist ein Produkt von Matritzen.)

Beweis. Die grundlegende Beweisidee ist die gleiche wie im vorhergehenden Satz. Da der technische Aufwand jedoch wesentlich größer ist, kann hier nur auf die Literatur verwiesen werden. (vgl. z.B. Literaturangabe [4], Teil II, Seite 217)

Bemerkung. Für

g : {I R}^{n} \to {I R}^{m}

und

f : {I R}^{m} \to {I R}^{k}

stellt sich die Ableitung von

(f \circ g)

an der Stelle

\bar{c}

wie folgt dar, wobei

\bar{b} = g (\bar{c})

ist:

{(f \circ g)}^{'} (\bar{c}) = f^{'} (g (\bar{c})) \cdot g^{'} (\bar{c}) = f^{'} (\bar{b}) \cdot g^{'} (\bar{c}) = \frac{\partial (f_{1}, \dots, f_{k})}{\partial (y_{1}, \dots, y_{m})} (\bar{b}) \cdot \frac{\partial (g_{1}, \dots, g_{m})}{\partial (x_{1}, \dots, x_{n})} (\bar{c})

= (\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}} (\bar{b}) & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial y_{m}} (\bar{b}) \\ ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{k}}{\partial y_{1}} (\bar{b}) & \dots & \frac{\partial f_{k}}{\partial y_{m}} (\bar{b}) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{1}} (\bar{c}) & \dots & \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{n}} (\bar{c}) \\ ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial g_{m}}{\partial x_{1}} (\bar{c}) & \dots & \frac{\partial g_{m}}{\partial x_{n}} (\bar{c}) \end{matrix})

= (a_{j i})_{\binom{i = 1, \dots, n}{j = 1, \dots, k}}

und

a_{j i} = \sum_{ν = 1}^{m} \frac{\partial f_{j}}{\partial y_{ν}} (\bar{b}) \cdot \frac{\partial g_{ν}}{\partial x_{i}} (\bar{c}) .

Sei

g : I R \to {I R}^{2}

und

f : {I R}^{2} \to I R

, also

f \circ g : I R \to I R

, wobei

g : = (g_{1}, g_{2})

. Speziell sei

g_{1} (t) : = t, g_{2} (t) : = t^{2}

, also

g (t) = (g_{1} (t), g_{2} (t)) = (t, t^{2}) (\in {I R}^{2})

und

f (x, y) : = sin (x \cdot y)

. Für

x = g_{1} (t)

und

y = g_{2} (t)

erhält man

(f \circ g) (t) = f (g (t)) = f (g_{1} (t), g_{2} (t)) = sin (t \cdot t^{2}) = sin t^{3} .

Offenbar ist

f \circ g

eine reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen, folglich läßt sich die Ableitung nach den Regeln für Funktionen einer Veränderlichen bilden:

Wir werden jetzt die Ableitung nach den Regeln für Funktionen mehrerer Veränderlicher berechnen; es wird sich zeigen, daß das gleiche Ergebnis entsteht. Es ist

f^{'} (x, y) = (\frac{\partial f}{\partial x} (x, y), \frac{\partial f}{\partial y} (x, y)),

g^{'} (t) = (\begin{matrix} \frac{\partial g_{1}}{\partial t} (t) \\ \frac{\partial g_{2}}{\partial t} (t) \end{matrix}) .

{(f \circ g)}^{'} (t) = f^{'} (g (t)) \cdot g^{'} (t) = (\frac{\partial f}{\partial x} (g (t)), \frac{\partial f}{\partial y} (g (t))) \cdot (\begin{matrix} \frac{\partial g_{1}}{\partial t} (t) \\ \frac{\partial g_{2}}{\partial t} (t) \end{matrix}) =

\frac{\partial f}{\partial x} (g (t)) \cdot \frac{\partial g_{1}}{\partial t} (t) + \frac{\partial f}{\partial y} (g (t)) \cdot \frac{\partial g_{2}}{\partial t} (t) : = (⋆) .

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = cos (x y) \cdot y \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x} (g (t)) = cos (g_{1} (t) \cdot g_{2} (t)) \cdot g_{2} (t) = (cos t^{3}) \cdot t^{2},

\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = cos (x y) \cdot x \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} (g (t)) = cos (g_{1} (t) \cdot g_{2} (t)) \cdot g_{1} (t) = (cos t^{3}) \cdot t,

\frac{\partial g_{1}}{\partial t} (t) = 1

und

\frac{\partial g_{2}}{\partial t} (t) = 2 t .

{(f \circ g)}^{'} (t) = (⋆) = (cos t^{3}) \cdot t^{2} \cdot 1 + (c o s t^{3}) \cdot t \cdot 2 t = (cos t^{3}) \cdot 3 t^{2} .

Bei der Lösung mathematischer Probleme, insbesondere in der Physik, der Technik und den Naturwissenschaften überhaupt, ist es oft vorteilhaft, die zu behandelnden Probleme mit Hilfe besonders geeigneter Koordinatensysteme zu beschreiben oder vom kartesischen Koordinatensystem zu einem anderen überzugehen. Da dieser Übergang häufig mit der Verkettung von Funktionen und die Lösung der anstehenden Probleme oft mit der Differenzierbarkeit der Verkettung verbunden ist, wollen wir hier einige wichtige nicht-kartesische Koordinatensysteme behandeln. Zunächst betrachten wir die sog. Polarkoordinaten, die schon bei der Behandlung der trigonometrischen Funktionen in Kapitel 5 (vgl. Abb. 5.21) eine gewisse Rolle spielten.

Es sei

P = (a, b) \neq (0, 0)

ein Punkt in der euklidischen Ebene, die mit einem kartesischen Koordinatensystem versehen ist, dessen Achsen mit

x

bzw.

y

bezeichnet werden. Offenbar läßt sich der Punkt

(a, b)

auch eindeutig durch das Paar

(r, φ)

beschreiben, wobei

r

der Abstand von

(a, b)

zum Nullpunkt ist und

φ

den Winkel zwischen der

x

-Achse und der Verbindungsstrecke von

(0, 0)

nach

(a, b)

angibt (

φ

in Bogenmaß gemessen). Damit ist der gleiche Punkt

P

in der Ebene

{I R}^{2}

durch unterschiedliche Koordinatensysteme eindeutig beschrieben worden (vgl. Abb. 8.7).

a, b

sind die kartesischen Koordinaten von

P

, und

r, φ

heißen Polarkoordinaten. (Der Nullpunkt ist mit Hilfe der Polarkoordinaten nicht eindeutig darstellbar, da der Winkel

φ

hierfür beliebig sein könnte.)

Betrachtet man den Punkt

P

als variabel,

(a, b) : = (x, y)

, dann erhält man eine Abbildung

Wir betrachten jetzt ein Beispiel einer Funktion in kartesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten.

Sei

f : {I R}^{2} \to I R

und

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

, wobei der Definitionsbereich von

f

ein Kreis mit dem Mittelpunkt

(0, 0)

und dem Radius

R

sein soll, also

D (f) : = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq R^{2}}

f (x, y) = f (g_{1} (r, φ), g_{2} (r, φ)) = (g_{1} (r, φ))^{2} + (g_{2} (r, φ))^{2} =

r^{2} {cos}^{2} φ + r^{2} {sin}^{2} φ = r^{2} (\underset{= 1}{\underset{︸}{{cos}^{2} φ + {sin}^{2} φ}}) = r^{2} .

g : {I R}^{2} \to {I R}^{2}, f : {I R}^{2} \to I R \Rightarrow f \circ g : {I R}^{2} \to I R .

(f \circ g) (r, φ) = f (g (r, φ)) = f (g_{1} (r, φ), g_{2} (r, φ)) = r^{2} .

f^{'} (x, y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) (x, y) = (2 x, 2 y),

g^{'} (r, φ) = (\begin{matrix} \frac{\partial g_{1}}{\partial r} & \frac{\partial g_{1}}{\partial φ} \\ \frac{\partial g_{2}}{\partial r} & \frac{\partial g_{2}}{\partial φ} \end{matrix}) (r, φ) = (\begin{matrix} cos φ & - r sin φ \\ sin φ & r cos φ \end{matrix}) .

(2 r cos φ, 2 r sin φ) \cdot (\begin{matrix} cos φ & - r sin φ \\ sin φ & r cos φ \end{matrix}) =

(2 r cos φ \cdot cos φ + 2 r sin φ \cdot sin φ, - 2 r sin φ \cdot r sin φ + 2 r sin φ \cdot r cos φ) =

d e t (\frac{\partial (g_{1}, g_{2})}{\partial (r, φ)} (r, φ)) = |\begin{matrix} cos φ & - r sin φ \\ sin φ & r cos φ \end{matrix}| = r .

Bemerkung. (ohne Beweis) Sei

g : {I R}^{n} \to {I R}^{n}, \bar{c} \in {I R}^{n}, g (\bar{x}) = g (x_{1}, \dots, x_{n}),

und

g : = (g_{1}, \dots, g_{n})

Ist die Determinante der Funktionalmatrix von

g

in einer Umgebung

U (\bar{c})

von null verschieden, also

d e t (\frac{\partial (g_{1}, \dots, g_{n})}{\partial (x_{1}, \dots, x_{n})} (\bar{x})) \neq 0

für alle

\bar{x} \in U (\bar{c})

Speziell für unsere Transformationsfunktion

g : {I R}^{2} \to {I R}^{2}

gilt dann

d e t (\frac{\partial (g_{1}, g_{2})}{\partial (r, φ)} (r, φ)) \neq 0 \Leftrightarrow r \neq 0 .

Damit ist der gleiche Punkt

P

im Raum

{I R}^{3}

durch unterschiedliche Koordinatensysteme eindeutig beschrieben worden (vgl. Abb. 8.9). Die neuen Koordinaten heißen Zylinderkoordinaten. (Der Nullpunkt ist analog wie im vorhergehenden Beispiel mit Hilfe der Zylinderkoordinaten nicht eindeutig darstellbar.)

Betrachtet man den Punkt

P

als variabel,

(a, b, c) : = (x, y, z)

, dann erhält man eine Abbildung

g (r, φ, z) : = (g_{1} (r, φ, z), g_{2} (r, φ, z), g_{3} (r, φ, z)) = (x, y, z),

g : {I R}^{3} \to {I R}^{3}

mit

0 \leq φ < 2 π, 0 \leq r < \infty

und

z \in I R

g^{'} (r, φ, z) = \frac{\partial (g_{1}, g_{2}, g_{3})}{\partial (r, φ, z)} (r, φ, z) = (\begin{matrix} cos φ & - r sin φ & 0 \\ sin φ & r cos φ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

d e t (\frac{\partial (g_{1}, g_{2}, g_{3})}{\partial (r, φ, z)} (r, φ, z)) = r .

Wir transformieren hierbei wieder räumliche Koordinaten. Dazu sei

P = (a, b, c) \neq (0, 0, 0) : = \bar{0}

ein Punkt in dem Raum

{I R}^{3}

, der mit dem kartesischen Koordinatensystem aus Beispiel (3) versehen ist. Der Punkt

(a, b, c)

wird erneut durch ein Koordinatentripel

(r, φ, ϑ)

beschrieben, deren Bedeutung aus der Abbildung 8.10 hervorgeht.

r

gibt den Abstand zwischen

\bar{0}

und

P

an.

P^{'} : = (a, b, 0)

ist die Projektion von

P

auf die

(x, y)

-Ebene, und

φ

bezeichnet den Winkel, der durch die

x

-Achse und die Verbindungsstrecke zwischen den Punkten

\bar{0}

und

P^{'}

aufgespannt wird.

c = r sin ϑ u n d r^{'} = r cos ϑ, w o b e i - \frac{π}{2} \leq ϑ \leq \frac{π}{2} .

Die neuen Koordinaten

r, φ, ϑ

heißen Kugelkoordinaten oder auch sphärische Koordinaten. (Die Punkte auf der

z

-Achse sind analog wie im vorhergehenden Beispiel mit Hilfe der Kugelkoordinaten nicht eindeutig darstellbar.)

Betrachtet man den Punkt

P

als variabel,

(a, b, c) : = (x, y, z)

, dann erhält man eine Abbildung

g (r, φ, ϑ) : = (g_{1} (r, φ, ϑ), g_{2} (r, φ, ϑ), g_{3} (r, φ, ϑ)) = (x, y, z),

g : {I R}^{3} \to {I R}^{3}

mit

0 \leq φ < 2 π, 0 \leq r < \infty

und

\frac{- π}{2} \leq ϑ \leq \frac{π}{2} .

g^{'} (r, φ, ϑ) = \frac{\partial (g_{1}, g_{2}, g_{3})}{\partial (r, φ, ϑ)} (r, φ, ϑ) = (\begin{matrix} \frac{\partial g_{1}}{\partial r} & \frac{\partial g_{1}}{\partial φ} & \frac{\partial g_{1}}{\partial ϑ} \\ \frac{\partial g_{2}}{\partial r} & \frac{\partial g_{2}}{\partial φ} & \frac{\partial g_{2}}{\partial ϑ} \\ \frac{\partial g_{3}}{\partial r} & \frac{\partial g_{3}}{\partial φ} & \frac{\partial g_{3}}{\partial ϑ} \end{matrix}) (r, φ, ϑ) =

(\begin{matrix} cos φ \cdot cos ϑ & - r sin φ \cdot cos ϑ & - r cos φ \cdot sin ϑ \\ sin φ \cdot cos ϑ & r cos φ \cdot cos ϑ & - r sin φ \cdot sin ϑ \\ sin ϑ & 0 & r cos ϑ \end{matrix}) .

d e t (\frac{\partial (g_{1}, g_{2}, g_{3})}{\partial (r, φ, ϑ)} (r, φ, ϑ)) = r^{2} cos ϑ,

d e t (\frac{\partial (g_{1}, g_{2}, g_{3})}{\partial (r, φ, ϑ)} (r, φ, ϑ)) \neq 0 \Leftrightarrow r \neq 0 u n d ϑ \neq \pm \frac{π}{2} .

Für alle Punkte, die nicht auf der

z

-Achse liegen, ist die Transformation injektiv.

Es sei

f (\bar{x}) : {I R}^{n} \to I R

in einer Umgebung eines Punktes nach allen Variablen partiell differenzierbar. Dann entstehen offenbar beim partiellen Differenzieren neue Funktionen

\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (\bar{x}) : = \frac{\partial f (\bar{x})}{\partial x_{i}}, i = 1, \dots, n,

die ebenfalls von

\bar{x}

abhängen. Diese partiellen Ableitungen können wieder nach gewissen Variablen partiell differenzierbar sein, etwa nach der Variablen

x_{j}

Bildet man

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (\frac{\partial f (\bar{x})}{\partial x_{i}}),

dann erhält man die 2. partielle Ableitung von

f

nach

x_{i}

und

x_{j}

\bar{x}

. Bez.:

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (\frac{\partial f (\bar{x})}{\partial x_{i}}) : = \frac{\partial^{2} f (\bar{x})}{\partial x_{i} \partial x_{j}} = f_{x_{i} x_{j}} (\bar{x})

Für

i = j

schreibt man

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (\frac{\partial f (\bar{x})}{\partial x_{i}}) : = \frac{\partial^{2} f (\bar{x})}{\partial x_{i}^{2}} = f_{x_{i} x_{i}} (\bar{x}) .

Ist

i \neq j

, dann nennt man die 2. partiellen Ableitungen auch gemischte partielle Ableitungen.

Nach dem gleichen Muster definiert man induktiv die

n

-ten partiellen Ableitungen. Hierfür benutzt man die Bezeichnung

\frac{\partial^{n} f (\bar{x})}{\partial x_{i_{1}} \dots \partial x_{i_{n}}} = f_{x_{i_{1}} \dots x_{i_{n}}} (\bar{x}),

wobei

i_{1}, \dots, i_{n} \in {1, \dots, n}

Satz 8.9 $($ Satz von Schwarz $)$ Es sei $f (x, y) : {I R}^{2} \to I R$ und $\bar{c} \in {I R}^{2}$ . Ist $f$ in einer Umgebung $U (\bar{c})$ definiert und existieren in $U (\bar{c})$ die partiellen Ableitungen $f_{x}, f_{y}, f_{x y}$ und ist $f_{x y}$ in $\bar{c}$ stetig, dann existiert auch $f_{y x}$ in $\bar{c}$ , und es ist $f_{x y} (\bar{c}) = f_{y x} (\bar{c})$ . (Unter den angegebenen Bedingungen sind die gemischten Ableitungen in $\bar{c}$ gleich.)

Wir zeigen, daß

f_{y x} (a, b) = lim_{x \to a} \frac{f_{y} (x, b) - f_{y} (a, b)}{x - a}

existiert und gleich

f_{x y} (a, b)

ist.

Nach Voraussetzung ist

f

U (\bar{c})

partiell nach

x

differenzierbar. Folglich läßt sich auf

f

(bei festgehaltenem

y

) der 1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung bezüglich

x

anwenden. Damit erhält man für alle

(x, y) \in U (\bar{c})

und

x \neq a, y \neq b

= \frac{1}{x - a} \cdot (lim_{y \to b} \frac{1}{y - b} \cdot (\underset{: = g (x, y)}{\underset{︸}{f (x, y) - f (x, b)}}) - lim_{y \to b} \frac{1}{y - b} \cdot (\underset{= g (a, y)}{\underset{︸}{f (a, y) - f (a, b)}}))

= \frac{1}{x - a} \cdot lim_{y \to b} \frac{1}{y - b} \cdot (g (x, y) - g (a, y))

= lim_{y \to b} \frac{1}{y - b} \cdot g_{x} (\underset{: = u}{\underset{︸}{a + ϑ (x - a)}}, y)

(1. Mittelwertsatz,

y

fest,

0 < ϑ < 1

)

Da nach Voraussetzung

f_{x y}

\bar{c}

stetig ist, existieren die folgenden Limites und es gilt:

f_{y x} (a, b) = lim_{x \to a} \frac{1}{x - a} \cdot (f_{y} (x, b) - f_{y} (a, b)) = lim_{x \to a} f_{x y} (u, b) = f_{x y} (a, b) .

Bemerkung. Ist

f (x_{1}, \dots, x_{n}) : {I R}^{n} \to I R

und

\bar{c} \in {I R}^{n}

und existieren in einer Umgebung

U (\bar{c})

die partiellen Ableitungen

f_{x_{i}}, f_{x_{j}}

und

f_{x_{i} x_{j}}

und ist

f_{x_{i} x_{j}}

\bar{c}

stetig, dann existiert auch

f_{x_{j} x_{i}}

\bar{c}

, und es ist

f_{x_{i} x_{j}} (\bar{c}) = f_{x_{j} x_{i}} (\bar{c})

Wir befassen uns jetzt mit Differentialen höherer Ordnung. Dazu sei

f (\bar{x}) : {I R}^{n} \to I R

. Das 1. Differential wurde als Funktion

d f : {I R}^{n} \to I R

definiert, die sich darstellen läßt in der Form

d f : = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} \cdot d x_{1} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \cdot d x_{n} = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} d x_{n},

d^{2} f : = d (d f) = d (\frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} d x_{n})

= d (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}) d x_{1} + \dots + d (\frac{\partial f}{\partial x_{n}}) d x_{n}

(

d x_{i}

konstant !)

= (\frac{\partial}{\partial x_{1}} (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}) d x_{1} + \dots + \frac{\partial}{\partial x_{n}} (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}) d x_{n}) d x_{1} + \dots

+ (\frac{\partial}{\partial x_{1}} (\frac{\partial f}{\partial x_{n}}) d x_{1} + \dots + \frac{\partial}{\partial x_{n}} (\frac{\partial f}{\partial x_{n}}) d x_{n}) d x_{n}

= \frac{\partial}{\partial x_{1}} (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}) d x_{1} d x_{1} + \dots + \frac{\partial}{\partial x_{n}} (\frac{\partial f}{\partial x_{1}}) d x_{n} d x_{1} + \dots

+ \frac{\partial}{\partial x_{1}} (\frac{\partial f}{\partial x_{n}}) d x_{1} d x_{1} + \dots + \frac{\partial}{\partial x_{n}} (\frac{\partial f}{\partial x_{n}}) d x_{n} d x_{n}

= \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{1}} d x_{1} d x_{1} + \dots + \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{n}} d x_{n} d x_{1} + \dots

+ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{1}} d x_{1} d x_{n} + \dots + \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{n}} d x_{n} d x_{n}

= \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} d x_{1}^{2} + \dots + \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} d x_{j} d x_{i} + \dots + \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}} d x_{i} d x_{j} + \dots + \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}^{2}} d x_{n}^{2}

(

i \neq j

d^{2} f = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}^{2}} d x_{i}^{2} + 2 \sum_{\binom{i, j = 1}{i < j}}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{i}} d x_{j} d x_{j} .

\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x, \frac{\partial f}{\partial y} = 2 y

und

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 2, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = 0, \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = 0, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 2 .

d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y = 2 x d x + 2 y d y .

d^{2} f = d (d f) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} d x^{2} + 2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} d x d y + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} d y^{2} =

8.3 Der Satz von Taylor; lokale Extrema für Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Wir werden jetzt einige Ergebnisse aus der Differentialrechnung für Funktionen mit einer Veränderlichen auf Funktionen mit mehreren Veränderlichen erweitern. Wir beginnen zunächst mit dem Mittelwertsatz, der sich auch hier als Spezialfall des Taylorschen Satzes erweist.

Satz 8.10 $($ Mittelwertsatz der Differentialrechnung mit mehreren Veränderlichen $)$ Sei $M \subseteq {I R}^{n}$ offen und $f : {I R}^{n} \to I R$ eine in $M$ differenzierbare Funktion. Weiterhin seien $\bar{a}, \bar{b} \in M$ und die Verbindungsstrecke $s (\bar{a}, \bar{b})$ zwischen $\bar{a}$ und $\bar{b}$ gehöre zu $M$ . Dann gibt es ein $\bar{c} \in s (\bar{a}, \bar{b})$ mit $\bar{c} \neq \bar{a}, \bar{b}$ , so daß $f (\bar{b}) - f (\bar{a}) = f^{'} (\bar{c}) \cdot (\bar{b} - \bar{a})$ .

von

s (\bar{a}, \bar{b})

und definieren damit die Funktion

F : [0, 1] \to I R

mit der Eigenschaft

Offenbar ist

F

[0, 1]

stetig und in

(0, 1)

differenzierbar. Dann läßt sich auf

F

der 1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden. Folglich existiert ein

ξ \in (0, 1)

, so daß

F (1) - F (0) = f (\underset{= \bar{b}}{\underset{︸}{g (1)}}) - f (\underset{= \bar{a}}{\underset{︸}{g (0)}}) = f (\bar{b}) - f (\bar{a})

= F^{'} (ξ) = f^{'} (\underset{: = \bar{c}}{\underset{︸}{g (ξ)}}) \cdot \underset{= \bar{b} - \bar{a}}{\underset{︸}{g^{'} (ξ)}}

Bemerkung. Für Vektorfunktionen ist der Mittelwertsatz im allgemeinen falsch. Man betrachte das Beispiel

f : [0, 1] \to {I R}^{2}

mit

f (x) = (x^{2}, x^{3})

Offenbar gibt es kein

c \in (0, 1)

, so daß

f (1) - f (0) = f^{'} (c) \cdot (1 - 0) = (2 c, 3 c^{2}) .

Zu je zwei Punkten

\bar{a}, \bar{b} \in M

gibt es endlich viele Elemente

{\bar{a}}_{0} = \bar{a}, {\bar{a}}_{1}, \dots, {\bar{a}}_{m + 1} = \bar{b}

, so daß die Verbindungsstrecken

s ({\bar{a}}_{i}, {\bar{a}}_{i + 1})

zwischen

{\bar{a}}_{i}

und

{\bar{a}}_{i + 1}, i = 1, \dots, m

, stets zu

M

gehören. (Da durch Polygonzüge stetige Funktionen gegeben sind, sind polygonzusammenhängende Mengen auch bogenzusammenhängend.)

Satz 8.11 Sei $M \subseteq {I R}^{n}$ ein Gebiet und $f : M \to I R$ in $M$ differenzierbar. Dann gilt $:$ $f$ ist konstant in $M$ $\Leftrightarrow$ $f^{'} (\bar{x}) = 0$ für alle $\bar{x} \in M$ .

Beweis. (

\to

) trivial, da die partiellen Ableitungen von konstanten Funktionen null sind.

(

\leftarrow

) Es sei

f^{'} (\bar{x}) = 0

für jedes

\bar{x} \in M

und es seien

\bar{a}, \bar{b} \in M

. Dann gibt es nach Voraussetzung Elemente

{\bar{a}}_{0} = \bar{a}, {\bar{a}}_{1}, \dots, {\bar{a}}_{m + 1} = \bar{b}

M

, so daß

s ({\bar{a}}_{i}, {\bar{a}}_{i + 1}) \in M

für

i = 0, \dots, m

Nach dem Mittelwertsatz existiert stets ein

{\bar{c}}_{i} \in s ({\bar{a}}_{i}, {\bar{a}}_{i + 1})

mit

{\bar{c}}_{i} \neq {\bar{a}}_{i}, {\bar{a}}_{i + 1}

, so daß

f ({\bar{a}}_{i + 1}) - f ({\bar{a}}_{i}) = \underset{= 0}{\underset{︸}{f^{'} ({\bar{c}}_{i})}} \cdot ({\bar{a}}_{i + 1} - {\bar{a}}_{i}) = 0,

also ist

f ({\bar{a}}_{i + 1}) = f ({\bar{a}}_{i})

für alle

i

und damit

f (\bar{a}) = f (\bar{b})

für beliebige

\bar{a}, \bar{b} \in M

f (x, y) = arctan \frac{x}{y} + arctan \frac{y}{x}

und

D (f) = {(x, y) : x \neq 0, y \neq 0}

\frac{\partial f (x, y)}{\partial x} = \frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^{2}} \cdot (\frac{1}{y}) + \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^{2}} \cdot (- \frac{y}{x^{2}})

= \frac{y^{2}}{(y^{2} + x^{2}) \cdot y} - \frac{x^{2} y}{(x^{2} + y^{2}) \cdot x^{2}} = 0 .

\frac{\partial f (x, y)}{\partial y} = \frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^{2}} \cdot (- \frac{x}{y^{2}}) + \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^{2}} \cdot (\frac{1}{x}) = 0 .

Folglich ist

f^{'} (\bar{x}) = 0

, und damit ist

f

in jedem der

M_{i}

konstant. Die Werte von

f

kann man leicht durch geeignete spezielle Argumente ermitteln.

Es soll jetzt der Taylorsche Satz für Funktionen mit mehreren Veränderlichen verallgemeinert werden. Dies erfordert einen gewissen technischen Aufwand, den wir durch eine geeignete Schreibweise etwas reduzieren wollen.

Definition. Es sei

M \subseteq {I R}^{n}

und

f : {I R}^{n} \to I R

M

definiert.

Es sei jetzt

M

eine offene Teilmenge von

{I R}^{2}, f : {I R}^{2} \to I R

und

f \in C^{k + 1} (M)

. Weiterhin seien

\bar{a} = (a_{1}, a_{2}), \bar{c} = \bar{a} + t \cdot \bar{h}

, wobei

t \in [0, 1], \bar{h} = (h_{1}, h_{2})

und die Verbindungsstrecke

s (\bar{a}, \bar{b})

ganz zu

M

gehöre. Dann ist

φ (t) : = f (\bar{a} + t \bar{h}) = f (a_{1} + t h_{1}, a_{2} + f h_{2})

für

0 \leq t \leq 1

eine reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen, deren Ableitung sich gemäß der Kettenregel wie folgt berechnet

φ^{'} (t) = \frac{\partial}{\partial x} f (\bar{c}) \cdot h_{1} + \frac{\partial}{\partial y} f (\bar{c}) \cdot h_{2} .

Für

\frac{\partial}{\partial x}

bzw.

\frac{\partial}{\partial y}

schreiben wir kurz

D_{1}

bzw.

D_{2}

. Damit ergibt sich

φ^{'} (t) = h_{1} \cdot D_{1} f + h_{2} \cdot D_{2} f = (h_{1} D_{1} + h_{2} D_{2}) f,

φ^{″} (t) = h_{1} (h_{1} D_{1} D_{1} f + h_{2} D_{2} D_{1} f) + h_{2} (h_{1} D_{1} D_{2} f + h_{2} D_{2} D_{2} f) .

Nach dem Satz von Schwarz ist

D_{1} D_{2} f = D_{2} D_{1} f

und somit erhält man für

D_{i} D_{i} : = D_{i}^{2}, i = 1, 2,

φ^{″} (t) = h_{1}^{2} D_{1}^{2} f + 2 h_{1} h_{2} D_{1} D_{2} f + h_{2}^{2} D_{2}^{2} f .

In Analogie zur binomischen Formel schreiben wir für

h_{1}^{2} D_{1}^{2} f + 2 h_{1} h_{2} D_{1} D_{2} f + h_{2}^{2} D_{2}^{2} f

im folgenden auch

{(h_{1} D_{1} + h_{2} D_{2})}^{(2)} f

Ist

M \subseteq {I R}^{n}

offen,

f \in C^{m + 1} (M)

und sind

\bar{a} = (a_{1}, \dots, a_{n}), \bar{a} + t \cdot \bar{h}

mit

0 \leq t \leq 1

und

\bar{h} = (h_{1}, \dots, h_{n})

Elemente aus

M

, deren Verbindungsstrecke ganz zu

M

gehört, und ist

φ (t) = f (\bar{a} + t \bar{h}) = f (a_{1} + t h_{1}, \dots, a_{n} + t h_{n}),

dann ist

φ^{'} (t) = \sum_{i = 1}^{n} h_{i} \cdot \frac{\partial}{\partial x_{i}} f (\bar{a} + t \bar{h}) .

φ^{'} (t) = \sum_{i = 1}^{n} h_{i} D_{i} f

und

φ^{″} (t) = \sum_{i, j = 1}^{n} h_{i} h_{j} D_{i} D_{j} f

wenn man den Satz von Schwarz und eine der binomischen Formel (für

n

Summanden) analoge Schreibweise benutzt.

Jetzt sind wir in der Lage, den Taylorschen Satz in übersichtlicher Weise zu formulieren.

Satz 8.12 $($ Satz von Taylor für Funktionen mit $n$ Veränderlichen $)$ Sei $f : {I R}^{n} \to I R, \bar{c} \in {I R}^{n}, U$ eine offene Umgebung von $\bar{c}$ und $f \in C^{m + 1} (U)$ . Sei $\bar{x} \in U$ , so daß die Verbindungsstrecke von $\bar{c}$ und $\bar{x}$ ganz zu $U$ gehört. Für $\bar{x} - \bar{c} = (x_{1} - c_{1}, \dots, x_{n} - c_{n}) : = (h_{1}, \dots, h_{n}) = \bar{h}$ gilt dann $:$ Es gibt ein $ϑ \in I R$ mit $0 < ϑ < 1$ , so daß $f (\bar{x}) = \sum_{i = 0}^{m} \frac{1}{i!} {(h_{1} D_{1} + \dots + h_{n} D_{n})}^{(i)} f (\bar{c}) + R_{m} (\bar{x}),$ wobei $R_{m} (\bar{x}) = \frac{1}{(m + 1)!} \cdot {(h_{1} D_{1} + \dots + h_{n} D_{n})}^{(m + 1)} f (\bar{c} + ϑ \bar{h}) .$

Beweis. Sei

φ (t) : = f (\bar{c} + t \bar{h}), 0 \leq t \leq 1

. Dann ist

φ (t)

als reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen offenbar

(m + 1)

-mal differenzierbar. Nach dem Taylorschen Satz für Funktionen einer Veränderlichen gibt es ein

ϑ

mit

0 < ϑ < 1

, so daß

φ (1) = φ (0) + \sum_{i = 1}^{m} \frac{φ^{(i)} (0)}{i!} \cdot {(1 - 0)}^{i} + \frac{φ^{(m + 1)} (0 + ϑ (1 - 0))}{(m + 1)!} \cdot {(1 - 0)}^{m + 1}

= φ (0) + \sum_{i = 1}^{m} \frac{φ^{(i)} (0)}{i!} + \frac{φ^{(m + 1)} (ϑ)}{(m + 1)!} .

φ (1) = f (\bar{x}), φ (0) = f (\bar{a}), φ^{(i)} (0) = {(h_{1} D_{1} + \dots + h_{n} D_{n})}^{(i)} f (\bar{c})

φ^{(m + 1)} (ϑ) = {(h_{1} D_{1} + \dots + h_{n} D_{n})}^{(m + 1)} f (\bar{c} + ϑ \bar{h}) .

Für

m = 1, n = 2

und

\bar{a} = (a, b), \bar{x} = (x, y), \bar{h} = \bar{x} - \bar{a} = (x - a, y - b)

und

ū : = \bar{a} + ϑ \bar{h}

erhält man

f (x, y) = f (a, b) + f_{x} (\bar{a}) \cdot (x - a) + f_{y} (\bar{a}) \cdot (y - b) +

\frac{1}{2!} (f_{x x} (ū) \cdot {(x - a)}^{2} + 2 f_{x y} (ū) \cdot (x - a) (y - b) + f_{y y} (ū) \cdot {(y - b)}^{2}) .

Gilt zusätzlich zu den Voraussetzungen des Satzes 8.12, daß

f \in C^{\infty} (M)

(d.h.,

f

ist in

M

beliebig oft differenzierbar), dann läßt sich

f

in eine Potenzreihe (mit mehreren Veränderlichen) entwickeln. Wenn

R_{m} (\bar{x}) \underset{m \to \infty}{\to} 0,

so ist

f (\bar{x}) = \sum_{i = 0}^{\infty} {(h_{1} D_{1} + \dots + h_{n} D_{n})}^{(i)} f (\bar{a}) .

Beispiel. Sei

f (x, y) = e^{x + y}

und

\bar{a} = (a, b) = (0, 0)

. Dann ist

D_{1} f (x, y) = e^{x + y}

und

D_{2} f (x, y) = e^{x + y}

. Folglich ist

f

beliebig oft stetig partiell differenzierbar und es ist

D_{i}^{k} D_{j}^{m} f (x, y) = e^{x + y}

und somit insbesondere

D_{i}^{k} D_{j}^{m} f (0, 0) = 1

für

i, j \in {1, 2}

Wegen

h_{1} = x - 0 = x, h_{2} = y - 0 = y

und

{(h_{1} D_{1} + h_{2} D_{2})}^{(m)} f (0, 0) = {(x + y)}^{m}

gilt

e^{x + y} = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{1}{m!} \cdot {(x + y)}^{m} = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{1}{m!} \sum_{i = 0}^{m} (\binom{m}{i}) x^{i} y^{m - i} = \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{i + j = m}^{m} \frac{1}{i! j!} \cdot x^{i} y^{j} .

(Man hätte diese Reihe natürlich auch anders gewinnen können.)

Wir befassen uns jetzt mit lokalen Extrema bei Funktionen mit zwei und mehr Veränderlichen.

In den Sätzen 7.15 und 7.16 sind (für differenzierbare Funktionen mit einer Veränderlichen) gewisse Bedingungen für das Vorliegen eines lokalen Extremums an einer Stelle

c

angegeben worden; und zwar eine notwendige Bedingung:

f^{'} (c) = 0

und eine hinreichende Bedingung:

f^{″} (c) \neq 0

Ähnliche, wenn auch kompliziertere, Bedingungen gibt es auch für Funktionen mit zwei (und mehr) Veränderlichen, mit denen wir uns jetzt befassen.

Definition. (lokales Extremum) Sei

f : {I R}^{n} \to I R

und

\bar{c}

ein innerer Punkt von

D (f)

f

besitzt an der Stelle

\bar{c}

ein relatives oder lokales Extremum (:= lokales Minimum bzw. lokales Maximum) =Df

Es gibt eine Umgebung

U (\bar{c})

, so daß für jedes

\bar{x} \in U (\bar{c})

mit

\bar{x} \neq \bar{c}

gilt:

f (\bar{x}) > f (\bar{c})

für ein lokales Minimum und

f (\bar{x}) < f (\bar{c})

für ein lokales Maximum.

Satz 8.13 $($ Notwendige Bedingung für die Existenz eines lokalen Extremums $)$ Sei $f (\bar{x}) : {I R}^{n} \to I R$ in einer Umgebung von $\bar{c}$ definiert und in $\bar{c}$ nach allen Variablen partiell differenzierbar. Besitzt $f$ in $\bar{c}$ ein lokales Extremum, dann sind alle (ersten) partiellen Ableitungen von $f$ in $\bar{c}$ null. (Wenn $\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (\bar{c}) = 0$ für $i = 1, \dots, n$ , also $g r a d f (\bar{c}) = \bar{0}$ , dann heißt $\bar{c}$ auch kritischer oder stationärer Punkt von $f$ .)

Beweis. Habe o.B.d.A.

f

\bar{c}

ein lokales Minimum (für ein lokales Maximum verläuft der Beweis analog). Dann gibt es eine Umgebung

U (\bar{c})

, so daß für jedes

\bar{x} \in U (\bar{c})

mit

\bar{x} \neq \bar{c}

gilt:

f (\bar{x}) > f (\bar{c})

. Dies gilt insbesondere für

\bar{x} : = \bar{c} + h {\bar{ε}}_{i}

, wenn

h

hinreichend klein ist.

Nach Voraussetzung ist die Funktion

φ (h) : = f (\bar{c} + h {\bar{ε}}_{i})

(als Funktion von

h

) in

h = 0

differenzierbar, und es ist

φ^{'} (0) = \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (\bar{c}) .

Offenbar besitzt

φ

(als Funktion einer Veränderlichen) in

0

ein lokales Minimum. Folglich gilt nach Satz 7.15:

φ^{'} (\bar{0}) = 0 = \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (\bar{c})

für

i = 1, \dots, n

Beispiel. Sei

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

. Wir berechnen die kritischen Stellen von

f

. Es ist

Die einzige kritische Stelle ist

(0, 0)

. Höchstens dort kann

f

ein lokales Extremum besitzen.

Im eindimensionalen Fall haben wir eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines lokalen Extremums mit Hilfe des Taylorschen Satzes bewiesen. Analoge Überlegungen führen auch bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen zum Ziel. Wir beschränken uns hier auf Funktionen mit zwei Veränderlichen, da der technische Aufwand für den

n

-dimensionalen Fall nicht unerheblich ist.

Ist

\bar{c} \in {I R}^{2}, U

eine Umgebung von

\bar{c} = (a, b), f

zweimal stetig differenzierbar in

U

und

\bar{x} = (x, y)

hinreichend dicht bei

\bar{c}

, dann gilt nach dem Satz von Taylor (für

m = 1, n = 2, \bar{h} = \bar{x} - \bar{a} = (x - a, y - b) : = (h, k)

und

ū : = \bar{a} + ϑ \bar{h}

)

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) = f_{x} (\bar{c}) \cdot h + f_{y} (\bar{c}) \cdot k + \frac{1}{2} (f_{x x} (ū) \cdot h^{2} + 2 f_{x y} (ū) \cdot h k + f_{y y} (ū) \cdot k^{2}) . (⋆)

Sind die notwendigen Bedingungen für das Vorliegen eines lokalen Extremums erfüllt, d.h.,

f_{x} (\bar{c}) = f_{y} (\bar{c}) = 0

, dann erhält man

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) = \frac{1}{2} (h^{2} \cdot f_{x x} (ū) + 2 h k \cdot f_{x y} (ū) + k^{2} \cdot f_{y y} (ū)) = R_{1} (\bar{x}) .

f

an der Stelle

\bar{c}

ein lokales Extremum besitzt, hängt allein von dem Restglied ab. Aufgrund der Stetigkeit der zweiten partiellen Ableitungen in

U

wechseln diese in einer hinreichend kleinen Umgebung von

\bar{c}

ihr Vorzeichen nicht, falls sie an der Stelle

\bar{c}

von null verschieden sind. Dies nutzen wir aus, um ein handhabbares Kriterium zur Verfügung zu haben.

Satz 8.14 $($ Hinreichende Bedingung für die Existenz eines lokalen Extremums $)$ Es sei $f : {I R}^{2} \to I R, \bar{c} \in {I R}^{2}$ und $f$ sei in einer Umgebung von $\bar{c}$ zweimal stetig differenzierbar. Weiterhin sei $\bar{c}$ ein kritischer Punkt von $f$ und $D = |\begin{matrix} f_{x x} (\bar{c}) & f_{x y} (\bar{c}) \\ f_{x y} (\bar{c}) & f_{y y} (\bar{c}) \end{matrix}| .$ Dann gilt $:$ $(1)$

Ist

D > 0

, dann besitzt

f

\bar{c}

ein lokales Extremum, und zwar ein lokales Minimum, falls

f_{x x} (\bar{c}) > 0

und ein lokales Maximum, falls

f_{x x} (\bar{c}) < 0

(2)

Ist

D < 0

, dann besitzt

f

\bar{c}

einen sog. Sattelpunkt (das ist ein kritischer Punkt, in dem die betrachtete Funktion weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum besitzt; vgl. Abb. 8.11).

(3)

Ist

D = 0

, dann läßt sich (allein mit Hilfe der zweiten partiellen Ableitungen) noch keine Aussage treffen.

Beweis. Wir benutzen die gleichen Bezeichnungen wie in der obigen Formel

(⋆)

. Da nach Voraussetzung

f_{x} (\bar{c})

und

f_{y} (\bar{c})

null sind, erhält man aus

(⋆)

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) = \frac{1}{2} (h^{2} \cdot f_{x x} (ū) + 2 h k \cdot f_{x y} (\bar{c}) + k^{2} \cdot f_{y y} (ū)) = R_{1} (\bar{x}) .

D : = D (\bar{c}) = f_{x x} (\bar{c}) \cdot f_{y y} (\bar{c}) - f_{x y}^{2} (\bar{c}) > 0 .

Betrachtet man

D (ū)

als Funktion von

ū = \bar{c} + ϑ (\bar{x} - \bar{c})

, dann ist wegen

f \in C^{2} (U)

die Funktion

D (ū)

U

stetig und somit

D (ū) > 0

, falls

\bar{x}

hinreichend nahe bei

\bar{c}

liegt.

Analog gilt für

f_{x x} (\bar{c}) \binom{<}{>} 0

auch

f_{x x} (ū) \binom{<}{>} 0 .

Im folgenden schreiben wir für

f_{x x} (ū), f_{x y} (ū), f_{y y} (ū)

kurz

f_{x x}, f_{x y}, f_{y y}

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) = \frac{1}{2 f_{x x}} \cdot [h^{2} f_{x x}^{2} + h k f_{x x} f_{x y} + k^{2} f_{x x} f_{y y}]

= \frac{1}{2 f_{x x}} [\underset{\geq 0}{\underset{︸}{{(h f_{x x} + k f_{y y})}^{2}}} + k^{2} (\underset{> 0}{\underset{︸}{f_{x x} f_{y y} - f_{x y}^{2}}})] .

Da der Ausdruck in den eckigen Klammern für

k \neq 0

positiv ist, hängt das Vorzeichen von

f (\bar{x}) - f (\bar{c})

nur von

f_{x x} (\bar{c})

ab. (Für

k = 0

gilt nach

(⋆)

schon

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) = \frac{h^{2}}{2} \cdot f_{x x}

Also für

f_{x x} (\bar{c}) > 0

besitzt

f

an der Stelle

\bar{c}

ein lokales Minimum und für

f_{x x} (\bar{c}) < 0

ein lokales Maximum.

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) = \frac{h^{2}}{2} \cdot (f_{x x} + 2 f_{x y} + f_{y y})

bzw.

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) = \frac{h^{2}}{2} \cdot (f_{x x} - 2 f_{x y} + f_{y y}) .

Es sei zunächst

f_{x x} (\bar{c}) = f_{y y} (\bar{c}) = 0

. Wegen

D (\bar{c}) < 0

ist dann

f_{x y} (\bar{c}) \neq 0

und somit

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) \underset{\bar{x} \to \bar{c}}{\to} 2 f_{x y} (\bar{c}), falls h = k und

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) \underset{\bar{x} \to \bar{c}}{\to} - 2 f_{x y} (\bar{c}), falls h = - k .

Dies bedeutet, daß in jeder Umgebung von

\bar{c}

sowohl positive als auch negative Werte von

f (\bar{x}) - f (\bar{c})

auftreten. Folglich besitzt

f

\bar{c}

kein lokales Extremum.

Es bleibt noch der Fall zu betrachten, daß

f_{x x} (\bar{c}) \neq 0

oder

f_{y y} (\bar{c}) \neq 0

Für hinreichend nahe bei

\bar{c}

gelegene

\bar{x}

haben

f (\bar{x}) - f (\bar{c})

und

f_{x x} (\bar{c})

das gleiche Vorzeichen.

Sei jetzt

h = - s \cdot f_{x y} (\bar{c})

und

k = s \cdot f_{x x} (\bar{c})

für „kleine“

s \neq 0 .

Dann gilt

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) = \frac{s^{2}}{2} (f_{x y}^{2} (\bar{c}) \cdot f_{x x} - 2 f_{x y} (\bar{c}) \cdot f_{x x} (\bar{c}) \cdot f_{x y} + f_{x x}^{2} (\bar{c}) \cdot f_{y y}) .

f (\bar{x}) - f (\bar{c}) \underset{\bar{x} \to \bar{c}}{\to} \frac{s^{2}}{2} (f_{x y}^{2} (\bar{c}) \cdot f_{x x} (\bar{c}) - 2 f_{x y}^{2} (\bar{c}) \cdot f_{x x} (\bar{c}) + f_{x x}^{2} (\bar{c}) \cdot f_{y y} (\bar{c}))

= \frac{s^{2}}{2} \cdot f_{x x} (\bar{c}) \cdot (\underset{< 0}{\underset{︸}{f_{x x} (\bar{c}) \cdot f_{y y} (\bar{c}) - f_{x y}^{2} (\bar{c})}}) .

Folglich haben

f (\bar{x}) - f (\bar{c})

und

f_{x x} (\bar{c})

unterschiedliches Vorzeichen, und damit besitzt

f

\bar{c}

kein lokales Extremum. Den Fall

f_{y y} (\bar{c}) \neq 0

beweist man durch ähnliche Überlegungen.

In den Quadranten, in denen

x

und

y

jeweils nur positive bzw. nur negative Werte annehmen, ist die Funktion

f (x, y)

stets negativ, in den Quadranten, wo jeweils ein Wert positiv und ein Wert negativ ist, ist die Funktion positiv. Entlang der

x

-Achse und der

y

-Achse ist die Funktion stets null. Die dargestellte Fläche läßt sich offenbar allein durch Geraden erzeugen.

Wir fahren jetzt fort mit der Untersuchung unseres Beispiels. Hierzu benutzen wir das oben erhaltene Kriterium.

Offenbar sind die zweiten partiellen Ableitungen an der kritischen Stelle

(0, 0)

stetig. Denn es ist

D = |\begin{matrix} f_{x x} (\bar{0}) & f_{x y} (\bar{0}) \\ f_{x y} (\bar{0}) & f_{y y} (\bar{0}) \end{matrix}| = |\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}| = 4 \neq 0 .

Wegen

f_{x x} (\bar{0}) = 2 > 0

besitzt

f

\bar{0}

ein lokales Extremum (vgl. auch Abb. 8.5 und Abb. 8.8 b).

Die folgende Abbildung zeigt diese Funktion; sie stellt ebenfalls eine Sattelfläche dar, die an der Stelle

(0, 0)

einen Sattelpunkt besitzt.

f_{x x} (x, y) = 2, f_{x y} (x, y) = f_{y x} (x, y) = 0, f_{y y} (x, y) = - 2 .

Bemerkung. Nach unserer Definition sind die Extremstellen einer Funktion

f

immer innere Punkte des betrachteten Definitionsbereiches (man kann dies auch anders definieren !). Ist man nicht nur an lokalen sondern auch an absoluten (oder globalen) Extrema (im Gegensatz zu lokalen Extremstellen) interessiert, dann muß noch der Teil des Randes des Definitionsbereiches untersucht werden, der selbst zum Definitionsbereich gehört. Schränkt man die Funktion

f

auf den betreffenden Teil des Randes ein, dann erhält man (in Abhängigkeit von der Kompliziertheit des Randes) oft eine „handhabbare“ Funktion

g

mit einer Veränderlichen. Die lokalen und globalen Extrema für

g

(falls solche existieren) müssen dann mit den lokalen Extrema von

f

verglichen werden.

In diesem Abschnitt befassen wir uns mit der (nicht einfachen Problematik der) Auflösbarkeit von Gleichungssystemen. Die lineare Algebra stellt bekanntlich gut nutzbare Werkzeuge für die Auflösung von linearen Gleichungssystemen bereit. Diese Hilfsmittel versagen jedoch im nichtlinearen Fall. Zur Verdeutlichung der Auflösbarkeit solcher Systeme starten wir mit einem linearen Gleichungssystem, das gegeben ist durch

A \bar{x} = \bar{b}

, wobei

A = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix})

\bar{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})

\bar{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})

Das Gleichungssystem ist bekanntlich genau dann lösbar (d.h. nach

x_{1}, \dots, x_{n}

auflösbar), wenn der Rang der Koeffizientenmatrix mit dem der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt. Für den Fall, daß

m = n

und der Rang von

A

ebenfalls

n

ist (d.h. die Determinante det

A

von

A

nicht null ist), läßt sich das Gleichungssystem stets eindeutig lösen. Ist das Gleichungssystem lösbar,

n > m

und (nach eventueller Umsortierung der Koeffizienten)

d e t (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m m} \end{matrix}) \neq 0

dann gibt es lineare Funktionen

f_{1} (x_{m + 1}, \dots, x_{n}), \dots, f_{m} (x_{m + 1}, \dots, x_{n})

, so daß

Für

\bar{x} = (x_{m + 1}, \dots, x_{n}), ȳ = (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{matrix})

und

f = (\begin{matrix} f_{1} \\ ⋮ \\ f_{m} \end{matrix})

erhält man somit

ȳ = (\begin{matrix} f_{1} (\bar{x}) \\ ⋮ \\ f_{m} (\bar{x}) \end{matrix}) = f (\bar{x}) .

Wir befassen uns jetzt mit beliebigen Gleichungssystemen. Dazu betrachten wir zunächst eine Gleichung mit zwei Unbekannten.

Definition. (Implizit definierte Funktion) Sei

f : {I R}^{2} \to I R, \bar{a} = (a, b)

und

f

in einer Umgebung

U (\bar{x})

definiert und

f (a, b) = 0

. Weiterhin seien

ε, δ > 0

, jedoch so klein, daß

U_{δ} (a) \times U_{ε} (b) \subseteq U (\bar{a})

Durch die Gleichung

f (x, y) = 0

ist in der Umgebung

U_{δ} (a)

eine Funktion

g : I R \to I R

implizit definiert =Df

f (x, y) = 0

(\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 1)

definiert in

{I R}^{2}

eine Kreislinie mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt (0,0).

Sei

\bar{a} = (a, b) \in {I R}^{2}

und

f (\bar{a}) = 0

, dann ist

\bar{a}

ein Punkt der Kreislinie. Für

a \neq \pm 1

und

ε > 0

gibt es ein

δ > 0

, so daß für jedes

x \in U_{δ} (a)

genau ein

y \in U_{ε} (b)

existiert mit

f (x, y) = 0

. In diesem Fall ist

y = g (x) = \sqrt{x}

Satz 8.15 $($ Hauptsatz über implizite Funktionen mit zwei Veränderlichen $)$ Voraussetzung $:$ $(1)$ Sei $M \subseteq I R$ eine offene Menge und $f : {I R}^{2} \to I R$ stetig in $M$ . $(2)$ Sei $\bar{c} = (a, b) \in M$ und $f (\bar{c}) = 0$ . $(3)$

f

ist in einer Umgebung

U (\bar{c})

stetig partiell nach

y

differenzierbar und

f_{y} (\bar{c}) \neq 0

Behauptung

:

Es gibt eine stetige Funktion

g : I R \to I R

, für die gilt

:

Für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0

, so daß für jedes

x \in U_{δ} (a)

genau ein

y \in U_{ε} (b)

existiert mit

f (x, y) = 0

und

y = g (x)

(insbesondere ist

b = g (a)

Beweis. Da

f_{y} (\bar{c}) \neq 0

und

f_{y}

U (\bar{c})

stetig ist, gibt es eine Umgebung

U^{'} (\bar{c})

, so daß

f_{y}

dort stets positiv oder stets negativ ist. Sei o.B.d.A.

f_{y} (\bar{c}) > 0

(

f_{y} (\bar{c}) < 0

analog).

Wir wählen jetzt

d > 0

, jedoch so klein, daß

U_{d} (a) \times U_{d} (b) \subseteq U^{'} (\bar{c})

f_{y} (a, y) > 0

für alle

y \in U_{d} (b)

, ist

f_{y}

U_{d} (b)

streng monoton wachsend. Sei

0 < ε < d

und

y_{1} : = b - ε, y_{2} : = b + ε

. Wegen

f (a, b) = 0

ist

f (a, y_{1}) < 0 < f (a, y_{2})

. Da

f (x, y_{1}), f (x, y_{2})

als Funktionen von

x

stetig sind, gibt es ein

δ

mit

0 < δ < ε

, so daß für jedes

x \in U_{δ} (a)

gilt:

f (x, y_{1}) < 0 < f (x, y_{2})

Für

x_{0} \in U_{δ} (a)

ist also

f (x_{0}, y)

[y_{1}, y_{2}]

stetig und

Nach dem Zwischenwertsatz (für Funktionen einer Veränderlichen) gibt es ein

y_{0} \in [y_{1}, y_{2}]

, so daß

f (x_{0}, y_{0}) = 0

f_{y}

U^{'} (\bar{c})

stets positiv ist, erhält man insbesondere

f_{y} (x_{0}, y) > 0

. Folglich ist

f (x_{0}, y)

streng monoton wachsend und somit

y_{0}

das einzige Element in

U_{ε}^{'} (b)

mit

f (x_{0}, y_{0})

. Durch

g (x_{0}) : = y_{0}

für

x_{0} \in U_{δ} (a)

ist eine Funktion

g

definiert.

Sei

x_{0} \in U_{δ} (a), ε > 0

(wie oben) und

δ^{'} > 0

, jedoch so klein, daß

U_{δ^{'}} (x_{0}) \subseteq U_{δ} (a)

und

| x - x_{0} | < δ^{'}

. Nach den vorhergehenden Betrachtungen existiert für

x \in U_{δ^{'}} (a)

genau ein

y \in [b - ε, b + ε]

, so daß

f (x, y) = 0

, also

g (x) = y

| g (x) - g (x_{0}) | = | y - y_{0} | \leq \underset{< ε}{\underset{︸}{| y - b |}} + \underset{< ε}{\underset{︸}{| b - y_{0} |}} < 2 ε .

Korollar. Gilt zusätzlich zu den Voraussetzungen von Satz 8.15 noch (4)

f

ist in

U (\bar{c})

stetig partiell nach

x

differenzierbar, dann ist die durch

f (x, y) = 0

U_{δ} (a)

implizit definierte Funktion

g

differenzierbar, und es gilt

:

g^{'} (x) = - \frac{f_{x} (x, y)}{f_{y} (x, y)}

Beweis. Wir wählen die Bezeichnungen wie im vorhergehenden Beweis. Sei

| x - x_{0} | < δ^{'}, x \neq a

und

y = g (x)

, dann ist

(x, y) \in U_{δ^{'}} (x_{0}) \times U_{ε} (b) : = D

, und die Verbindungsstrecke zwischen

(a, b)

und

(x, y)

gehört ganz zu

D

. Nach dem Mittelwertsatz für Funktionen mit mehreren Veränderlichen gilt (er kann hier angewendet werden, da

f (x, y)

nach Voraussetzung differenzierbar ist):

\underset{= 0}{\underset{︸}{f (x, y)}} - \underset{= 0}{\underset{︸}{f (a, b)}} = 0 = (x - a) \cdot f_{x} (ū) + (y - b) \cdot f_{y} (ū),

wobei

ū = \bar{a} + ϑ (\bar{x} - \bar{c}), y = g (x)

und

b = g (a)

. Hieraus folgt

\frac{y - b}{x - a} = \frac{g (x) - g (a)}{x - a} = - \frac{f_{x} (ū)}{f_{y} (ū)}

g

U_{δ} (a)

stetig ist, gilt für

x \to a

auch

y = g (x) \to g (a) = b

und somit

ū \to \bar{a}

. Folglich existiert

\underset{= g^{'} (a)}{\underset{︸}{lim_{x \to a} \frac{g (x) - g (a)}{x - a}}} = - \frac{f_{x} (\bar{c})}{f_{y} (\bar{c})}

f : {I R}^{2} \to I R

ist in einer Umgebung

U (\bar{c})

mit

\bar{c} = (1, 0)

stetig. 2.

f (1, 0) = 0

. 3.

f

ist in

U (\bar{c})

stetig partiell nach

y

differenzierbar und

f_{y} (1, 0) = - 2 \neq 0

Nach dem Satz über implizite Funktionen gibt es dann eine stetige Funktion

g : I R \to I R

, für die gilt:

Für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0

, so daß für alle

x \in U_{δ} (1)

genau ein

y \in U_{ε} (0)

existiert mit

f (x, y) = 0

und

g (x) = y

Offenbar ist auch

f

stetig partiell nach

x

differenzierbar. Damit ist (nach dem letzten Korollar)

g

U_{δ} (1)

differenzierbar und

y^{'} = g^{'} (x) = - \frac{f_{x} (x, y)}{f_{y} (x, y)} = \frac{3 x^{2} - 2 y}{3 y^{2} - 2 x}

Hierbei entsteht eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion

y

und deren Ableitung

y^{'}

enthält. (Gleichungen dieser Art heißen Differentialgleichungen.)

Abschließend soll noch der Hauptsatz über implizite Funktionen mit mehreren Veränderlichen ohne Beweis angegeben werden. (Siehe hierzu Literaturangabe [4], Teil II, Seite 235 – 242.)

Definition. (implizit definierte Funktionen mit mehreren Veränderlichen) Sei

f : {I R}^{n + m} \to {I R}^{m}, \bar{a} = (a_{1}, \dots, a_{n}), \bar{b} = (b_{1}, \dots, b_{m}), \bar{c} = (\bar{a}, \bar{b})

und

f

in einer Umgebung

U (\bar{c}) \subseteq {I R}^{n + m}

definiert und

f (\bar{c}) = \bar{0}

. Weiterhin seien

ε, δ > 0

, jedoch so klein, daß

U_{δ} (\bar{a}) \times U_{ε} (\bar{b}) \subseteq U (\bar{c})

Durch die Gleichung

f (\bar{x}, ȳ) = \bar{0}

ist in der Umgebung

U_{δ} (\bar{a})

eine Funktion

g : {I R}^{n} \to {I R}^{m}

implizit definiert =Df

Satz 8.16 $($ Hauptsatz über implizite Funktionen $)$ Voraussetzung $:$

$(1)$

Sei

M \subseteq {I R}^{n + m}

eine offene Menge und

f = (f_{1}, \dots, f_{m}) : {I R}^{n + m} \to {I R}^{m}

stetig in

M

(2)

Sei

\bar{c} = (\bar{a}, \bar{b})

und

f (\bar{c}) = \bar{0}

(3)

f_{1}, \dots, f_{m}

seien in einer Umgebung

U (\bar{c})

nach allen Variablen

y_{1}, \dots, y_{m}

stetig partiell differenzierbar und die Determinante der Funktionalmatrix

\frac{\partial (f_{1}, \dots, f_{m})}{\partial (y_{1}, \dots, y_{m})} (\bar{c})

sei (an der Stelle

\bar{c}

) nicht null.

Behauptung $:$

Es gibt eine stetige Funktion $g : {I R}^{n} \to I R$ , für die gilt $:$ Für jedes $ε > 0$ gibt es ein $δ > 0$ , so daß für jedes $\bar{x} \in U_{δ} (\bar{a})$ genau ein $ȳ \in U_{ε} (\bar{b})$ existiert mit $f (\bar{x}, ȳ) = 0$ und $ȳ = g (\bar{x})$ (insgesondere ist $g (\bar{a}) = b$ ).