In diesem Abschnitt wird die Grundidee, die bei der Definition des Riemann-Integrals für Funktionen mit einer Veränderlichen benutzt wurde, auf reellwertige Funktionen mit mehreren Veränderlichen übertragen. Da hier nur ein Ausblick gegeben werden soll, können auch nur grundlegende Methoden und Techniken angesprochen werden, auf Beweise wird weitgehend verzichtet. Wir beginnen zunächt mit Funktionen zweier Veränderlicher.

10.1 Doppelintegrale

Im folgenden seien stets (wenn nichts anderes vereinbart wird) $a, b, c, d \in I R$ mit $a \leq b, c \leq d$ , $I = [a, b], J = [c, d]$ seien abgeschlossene Intervalle in $I R$ , und $D$ bezeichne das Rechteck in ${I R}^{2}$ , das durch $D : = I \times J = {(x, y) : a \leq x \leq b, c \leq y \leq c}$ gegeben ist. Weiterhin sei $f (x, y)$ eine in $D$ definierte und beschränkte Funktion. Abkürzend schreiben wir für $(x, y)$ auch $\bar{x}$ .

Die Definition des bestimmten Riemann-Integrals (Abschnitt 9.2) wurde bekanntlich durch das Flächenproblem motiviert. Die analoge Fragestellung wird Motiv für sog. Doppelintegrale sein. Hierzu setzen wir zunächst $f (\bar{x}) \geq 0$ in $D$ voraus (diese Bedingung wird nur für die Motivation benutzt; für die Definition von Mehrfachintegralen spielt sie keine Rolle).

Wir stellen uns nun die folgenden Fragen: Kann der räumlichen Punktmenge

$M : = {(x, y, z) : x \in I, y \in J, 0 \leq z \leq f (x, y)}$

in „vernünftiger“ Weise ein Volumen zugeschrieben werden ? Wie könnte man dieses Volumen gegebenenfalls berechnen ?

Bei der Behandlung dieser Fragen geht man völlig analog wie im eindimensionalen Fall vor. Man zerlegt zunächst das Rechteck $D$ in Teilrechtecke. Dies geschieht wie folgt: ${�?��}_{1} = (a_{0}, \dots, a_{n + 1})$ und ${�?��}_{2} = (c_{0}, \dots, c_{m + 1})$ seien Zerlegungen der Intervalle $I$ bzw. $J$ , also $a = a_{0} < \dots < a_{n + 1} = b$ und $c = c_{0} < \dots < c_{n + 1} = d$ (vgl. Abb. 10.1).

PICT

Wie auch früher benutzen wir die Bezeichnungen $I_{i} : = [a_{i}, a_{i + 1}]$ und $J_{j} : = [c_{j}, c_{j + 1}]$ . Weiterhin sei $D_{i j} : = I_{i} \times J_{j} = [a_{i}, a_{i + 1}] \times [c_{j}, c_{j + 1}]$ . Offenbar ist $D = ⋃_{i, j} D_{i j}$ .

$\bar{�?��} : = {D_{i j} : i = 1, \dots, n, j = 1, \dots, m}$ heißt dann Zerlegung (oder Partition) von $D$ . Eine Verfeinerung von $\bar{�?��}$ ist durch Verfeinerungen von ${�?��}_{1}$ und ${�?��}_{2}$ gegeben.

Nach Voraussetzung ist $f$ in $D$ beschränkt, folglich ist $f$ auch in jedem Teilrechteck $D_{i j}, i = 1, \dots, n, j = 1, \dots, m$ , beschränkt. Daher existieren

$h_{i j} : = inf_{\bar{x} \in D_{i j}} f (\bar{x})$ und $H_{i j} : = sup_{\bar{x} \in D_{i j}} f (\bar{x})$ .

Bemerkung. Im folgenden bezeichnen $D$ und $D_{i j}$ sowohl die Rechtecke $I \times J$ bzw. $I_{i} \times J_{j}$ als auch den Flächeninhalt der entsprechenden Rechtecke. Verwechslungen sind nicht zu befürchten, da sich die aktuelle Bedeutung jeweils aus dem Zusammenhang ergibt.

Über den Rechtecken $D_{i j}$ errichten wir jetzt Quader mit der Grundfläche $D_{i j}$ und der Höhe $h_{i j}$ bzw. $H_{i j}$ (vgl. Abb. 10.2). Dies gibt Anlaß zu folgender Definition.

Definition. (Untersumme, Obersumme) (1)

{\underline{S}}_{f} (\bar{�?��})

heißt Untersumme von

f

bei der Zerlegung

\bar{�?��}

=Df

{\underline{S}}_{f} (\bar{�?��}) : = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} (a_{i + 1} - a_{i}) (c_{j + 1} - c_{j}) \cdot inf_{\bar{x} \in D_{i j}} f (\bar{x}) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} D_{i j} \cdot h_{i j}

(2)

{\overline{S}}_{f} (\bar{�?��})

heißt Obersumme von

f

bei der Zerlegung

\bar{�?��}

=Df

{\overline{S}}_{f} (\bar{�?��}) : = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} (a_{i + 1} - a_{i}) (c_{j + 1} - c_{j}) \cdot sup_{\bar{x} \in D_{i j}} f (\bar{x}) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} D_{i j} \cdot H_{i j}

PICT

Völlig analog wie bei Funktionen mit einer Veränderlichen gilt der folgende Satz (vgl. Satz 9.5).

Satz 10.1 Es sei $f$ in $D$ definiert und beschränkt und $\bar{�?��}, {\bar{�?��}}^{'}, {\bar{�?��}}_{1}, {\bar{�?��}}_{2}$ seien beliebige Zerlegungen von $D$ . Dann gilt $:$

$(1)$ ${\underline{S}}_{f} (\bar{�?��}) \leq {\overline{S}}_{f} (\bar{�?��}) .$

$(2)$

D \cdot inf_{\bar{x} \in D} f (\bar{x}) \leq {\underline{S}}_{f} (\bar{�?��})

und

{\overline{S}}_{f} (\bar{�?��}) \leq D \cdot sup_{\bar{x} \in D} f (\bar{x})

$(3)$ Ist ${\bar{�?��}}^{'}$ eine Verfeinerung von $\bar{�?��}$ , dann gilt ${\underline{S}}_{f} (\bar{�?��}) \leq {\underline{S}}_{f} ({\bar{�?��}}^{'}) \leq {\overline{S}}_{f} ({\bar{�?��}}^{'}) \leq {\overline{S}}_{f} (\bar{�?��}) .$

$(4)$ Es ist stets ${\underline{S}}_{f} ({\bar{�?��}}_{1}) \leq {\overline{S}}_{f} ({\bar{�?��}}_{2}) .$

Beweis. Den Beweis führt man völlig analog wie zu Satz 9.5. <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Aus Satz 10.1 (2) folgt sofort, daß die Menge aller Untersummen nach oben und die Menge aller Obersummen nach unten beschränkt ist. Folglich existieren

$\underset{D}{\iint_{_}} f (x, y) d x d y : = \sup {{\underline{S}}_{f} (\bar{z}) : \bar{z} Zerlegung von D}$ (Unterintegral von $f$ in $D$ )

$\underset{D}{\iint^{¯}} f (x, y) d x d y : = \inf {{\bar{S}}_{f} (\bar{z}) : \bar{z} Zerlegung von D}$ (Oberintegral von $f$ in $D$ ).

Aus (4) erhält man unmittelbar, daß stets $\underset{D}{\iint_{_}} f (x, y) d x d y \leq \underset{D}{\iint^{¯}} f (x, y) d x d y$ gilt.

Analog wie im eindimensionalen Fall definieren wir jetzt das Doppelintegral.

Definition. (Integral über Rechteckbereichen) Sei $f$ in $D$ definiert und beschränkt. $f$ ist in $D$ integrierbar $\underset{D f}{=} \underset{D}{\iint_{_}} f (x, y) d x d y = \bar{\iint_{D}} f (x, y)) d x d y .$ Der gemeinsame Wert von Ober- und Unterintegral heißt dann Riemann-Integral oder Doppelintegral oder kurz Integral von $f$ in $D$ .

Bez.: $\iint_{D} f (x, y) d x d y : = \int_{D} f (\bar{x}) d \bar{x .}$

Definition. (Volumen) Sei $f$ in $D : = [a, b] \times [c, d]$ definiert und beschränkt und nicht negativ. Die (räumliche) Punktmenge $M = {(x, y, z) : a \leq x \leq b, c \leq y \leq d, 0 \leq z \leq f (x, y)}$ besitzt ein Volumen $($ Rauminhalt $)$ der Größe $V$ =Df $f$ ist in $D$ integrierbar und $V = \iint_{D} f (x, y) d x d y .$

PICT

Beispiel für eine Funktion, die in $D = [a, b] \times [c, d]$ definiert und beschränkt aber nicht integrierbar ist. Es sei

$f (x, y) = {\begin{array}{l} 1, falls x \in D \cap ℚ, \\ 0, sonst \end{array}$

Ist $\bar{�?��} = {D_{i j} : 0 \leq i \leq n, 0 \leq j \leq m}$ eine Zerlegung von $D,$ dann existieren offenbar in jedem $D_{i j}$ Elemente $(x_{1}, y), (x_{2}, y)$ mit $x_{1} \in D \cap l Q$ und $x_{2} \notin l Q$ . Folglich ist stets

$inf_{\bar{x} \in D_{i j}} f (\bar{x}) = 0$ und $sup_{\bar{x} \in D_{i j}} f (\bar{x}) = 1 .$

Daraus erhält man sofort

${\underline{S}}_{f} (\bar{�?��}) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} D_{i j} \cdot \underset{= 0}{\underset{︸}{h_{i j}}} = 0$

und

${\overline{S}}_{f} (\bar{�?��}) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} D_{i j} \cdot \underset{= 1}{\underset{︸}{H_{i j}}} = D \neq 0 .$

Folglich ist

\underset{D}{\iint_{_}} f (x, y) d x d y = 0 < D = \bar{\iint_{D}} f (x, y) d x d y,

und damit ist $f$ in $D$ nicht integrierbar.

Bemerkung. Völlig analog wie im eindimensionalen Fall gelten auch hier (1)

die Sätze über Zwischensummen (ein Zwischenstellensystem

\bar{τ}

bei einer Zerlegung

\bar{�?��} = {D_{i j} : 0 \leq i \leq n, 0 \leq j \leq m}

ist gegeben durch

\bar{τ} = {{\bar{ξ}}_{i j} \in D_{i j} : 0 \leq i \leq n, 0 \leq j \leq m}

, wobei

{\bar{ξ}}_{i j}

beliebig in

D_{i j}

zu wählen ist und die entsprechende Zwischensumme durch

S_{f} (\bar{�?��}, \bar{τ})

definiert ist),

(2) das Riemannsche Integrierbarkeitskriterium, (3) stetige Funktionen sind integrierbar, (4)

beschränkte Funktionen mit höchstens endlich vielen Unstetigkeitsstellen sind integrierbar.

Die Beweise verlaufen ähnlich wie für Funktionen mit einer Veränderlichen.

Weiterhin gilt:

Satz 10.2 Ist $f$ in $D$ integrierbar und sind $h, H$ reelle Zahlen mit $h \leq f (x, y) \leq H$ für jedes $(x, y) \in D,$ dann ist $h \cdot D \leq \iint_{D} f (x, y) d x d y \leq H \cdot D .$

Beweis. Den Beweis führt man wie im eindimensionalen Fall. <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Satz 10.3 $($ iterierte Integrale über Rechteckbereichen $)$ Sei $D = [a, b] \times [c, d]$ und $f$ in $D$ integrierbar. Ist $f (x, y)$ für jedes fixierte $x \in [a, b]$ als Funktion von $y$ in $[c, d]$ integrierbar und ist $F (x) : = \int_{c}^{d} f (x, y) d y$ in $[a, b]$ integrierbar, dann ist $\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x = \int_{a}^{b} F (x) d x .$

Beweis. Es seien ${�?��}_{1} = (a_{0}, \dots, a_{n + 1})$ , ${�?��}_{2} = (c_{0}, \dots, c_{m + 1})$ Zerlegungen von $[a, b]$ bzw. von $[c, d]$ , und es sei $\bar{�?��} = {D_{i j} : 0 \leq i \leq n, 0 \leq j \leq m}$ , wobei $D_{i j} = [a_{i}, a_{i + 1}] \times [c_{j}, c_{j + 1}]$ . Dann gilt

$F (x) = \int_{c}^{d} f (x, y) d y = \sum_{j = 0}^{m} \int_{c_{j}}^{c_{j + 1}} f (x, y) d y,$

und somit

$\int_{a}^{b} F (x) d x = \int_{a}^{b} (\sum_{j = 0}^{m} \int_{c_{j}}^{c_{j + 1}} f (x, y) d y) d x = \sum_{i = 0}^{n} \int_{a_{i}}^{a_{i + 1}} (\sum_{j = 0}^{m} \int_{c_{j}}^{c_{j + 1}} f (x, y) d y) d x .$

Für $h_{i j} : = inf_{\bar{x} \in D_{i j}} f (\bar{x})$ und $H_{i j} : = sup_{\bar{x} \in D_{i j}} f (\bar{x})$ gilt stets

$h_{i j} \leq f (\bar{x}) \leq H_{i j}$ für alle $\bar{x} = (x, y) \in D$ .

Ist $x \in [a, b]$ , dann erhält man sofort

$h_{i j} \cdot (c_{j + 1} - c_{j}) \leq \int_{c_{j}}^{c_{j + 1}} f (x, y) d y \leq H_{i j} \cdot (c_{j + 1} - c_{j}) .$

Integriert man die letzte Ungleichung nach $x$ , so ergibt sich

$h_{i j} \cdot D_{i j} = \int_{a_{i}}^{a_{i + 1}} h_{i j} \cdot (c_{j + 1} - c_{j}) d x \leq \int_{a_{i}}^{a_{i + 1}} (\int_{c_{j}}^{c_{j + 1}} f (x, y) d x) d x$

$\leq \int_{a_{i}}^{a_{i + 1}} H_{i j} \cdot (c_{j + 1} - c_{j}) d x \leq H_{i j} \cdot D_{i j} .$

Summiert man diese Ungleichungen nach $i$ und $j,$ so erhält man

${\underline{S}}_{f} (\bar{�?��}) \leq \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} \int_{a_{i}}^{a_{i + 1}} (\int_{c_{j}}^{c_{j + 1}} f (x, y) d y) d x = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x \leq {\overline{S}}_{f} (\bar{�?��})$ .

Da $f$ in $D$ integrierbar ist, unterscheiden sich Ober- und Untersumme bei einer geeigneten Zerlegung nur um beliebig wenig. Da nach Definition des Doppelintegrals stets ${\underline{S}}_{f} (\bar{z}) \leq \iint_{D} f (x, y) d x d y \leq {\bar{S}}_{f} (\bar{z})$ ist, gilt schließlich

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x .

Bemerkung. Der Satz gilt auch dann, wenn die Bedingungen für $x$ und $y$ entsprechend vertauscht sind.

Korollar. Ist $f (x, y)$ in $D$ stetig (also auch integrierbar), dann ist

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x = \int_{c}^{d} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d y .

Beweis. Die Behauptung folgt wie im vorhergehenden Beweis sofort aus dem Fakt, daß stetige Funktionen integrierbar sind. <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Beispiel. Sei $f (x, y) = x^{2} + 2 x y$ und $[a, b] = [0, 1], [c, d] = [1, 3]$ , also $D = [0, 1] \times [1, 3]$ . Dann gilt (falls zuerst nach $y$ und anschließend nach $x$ integriert wird):

\begin{matrix} \iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{0}^{1} (\int_{1}^{3} (x^{2} + 2 x y) d y) d x = \int_{0}^{1} {[x^{2} y + x y^{2}]}_{1}^{3} d x \\ = \int_{0}^{1} (3 x^{2} + 9 x - x^{2} - x) d x = \int_{0}^{1} (2 x^{2} + 8 x) d x \\ = {[\frac{2}{3} x^{3} + 4 x^{2}]}_{0}^{1} = \frac{2}{3} + 4 = \frac{14}{3} \end{matrix}

Wir berechnen dasselbe Integral noch einmal (wobei jetzt zuerst nach

x

und anschließend nach

y

integriert wird).

$\int_{1}^{3} (\int_{0}^{1} (x^{2} + 2 x y) d x) d y = \int_{1}^{3} [\frac{x^{3}}{3} + x^{2} y]_{0}^{1} d y = \int_{1}^{3} (\frac{1}{3} + y) d y$

$= [\frac{1}{3} y + \frac{y^{2}}{2}]_{1}^{3} = 1 + \frac{9}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{14}{3} .$

Beide Methoden liefern also das gleiche Ergebnis.

Einfache Bereiche

Definition. $($ einfacher Bereich $)$ Es seien $[a, b], [c, d]$ Intervalle in $I R$ . 1.

B

ist ein

x

-einfacher Bereich (über

[a, b]

) =Df

Es gibt Funktionen

φ (x), ψ (x) : [a, b] \to I R

, so daß gilt: (a)

φ, ψ

sind stetig in

[a, b]

, (b)

φ (x) \leq ψ (x)

für jedes

x \in [a, b]

, (c)

B : = {(x, y) : a \leq x \leq b

und

φ (x) \leq y \leq ψ (x)}

(vgl. Abb. 10.4).

B_{1}

ist ein

y

-einfacher Bereich (über

[c, d]

) =Df

Es gibt Funktionen

φ_{1} (y), ψ_{1} (y) : [c, d] \to I R

, so daß gilt: (a)

φ_{1}, ψ_{1}

sind stetig in

[c, d]

, (b)

φ_{1} (y) \leq ψ_{1} (y)

für jedes

y \in [c, d]

, (c)

B_{1} : = {(x, y) : φ_{1} (y) \leq x \leq ψ_{1} (y)

und

c \leq y \leq d}

(vgl. Abb. 10.5).

B

ist ein einfacher Bereich =Df

B

ist

x

-einfach oder

y

-einfach.

PICT

Bisher ist das Integral nur über Rechteckbereichen $D = [a, b] \times [c, d]$ definiert. Wir werden die Definition jetzt auf einfache Bereiche erweitern. Dazu sei zunächst $B$ ein $x$ -einfacher Bereich (für $y$ -einfache Bereiche erfolgt die Definition analog), und $f (x, y)$ sei eine in $B$ definierte und stetige Funktion. $B$ sei mit Hilfe der in $[a, b]$ stetigen Funktionen $φ (x), ψ (x)$ gegeben, und $D$ sei so gewählt, daß $B \subseteq D$ , also $B : = {(x, y) : a \leq x \leq b$ und $c \leq φ (x) \leq y \leq ψ (x) \leq d}$ .

Durch den folgenden „Kunstgriff“ wird der Definitionsbereich von $f$ auf $D$ erweitert (vgl. Abb. 10.6).

$f^{*} (x, y) : = {\begin{matrix} f (x, y), für (x, y) \in B, \\ 0, für (x, y) \in D ∖ B . \end{matrix}$

PICT

Man überlegt sich leicht, daß $B$ kompakt ist, denn $B$ ist offensichtlich beschränkt, und der Rand von $B$ gehört zu $B$ . Nach Voraussetzung ist $f$ in $B$ stetig, also auch beschränkt. Folglich ist $f^{⋆}$ in $D$ definiert und beschränkt, aber dort nicht mehr unbedingt stetig.

PICT

Satz 10.4 Es sei $B$ ein über $[a, b]$ $x$ -einfacher bzw. über $[c, d]$ $y$ -einfacher Bereich, $B \subseteq D : = [a, b] \times [c, d]$ , und $f (x, y)$ sei in $B$ definiert und stetig. Dann ist $f^{⋆}$ in $D$ integrierbar, und es ist $\iint_{D} f^{*} (x, y) d x d y = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f^{*} (x, y) d y) d x b z w .$ $\iint_{D} f^{*} (x, y) d x d y = \int_{c}^{d} (\int_{a}^{b} f^{*} (x, y) d x) d y .$

Beweisidee. Wir betrachten den Fall, daß $B$ ein $x$ -einfacher Bereich ist, den verbleibenden Fall beweist man analog. Aufgrund von Satz 10.3 genügt folgendes zu zeigen:

1. $f^{⋆}$ ist in $D$ integrierbar, 2.

Für jedes feste

x \in [a, b]

ist

f^{⋆} (x, y)

(als Funktion von

y

) in

[c, d]

integrierbar, und

F (x) : = \int_{c}^{d} f^{⋆} (x, y) d y

ist (als Funktion von

x

) in

[a, b]

integrierbar.

Behauptung 1 kann mit Hilfe des Riemannschen Integrierbarkeitskriteriums nachgewiesen werden. Der Beweis ist jedoch etwas langwierig, daher wird er hier weggelassen.

2. Für jedes fixierte $x_{0} \in [a, b]$ ist $f^{⋆} (x_{0}, y)$ in $[c, d]$ definiert und beschränkt und in $[c, d] \ {φ (x_{0}), ψ (x_{0})}$ stetig (als Funktion der Veränderlichen $y$ , vgl. Abb. 10.6). Folglich ist $f^{⋆} (x_{0}, y)$ in $[c, d]$ integrierbar. 3. Für die Integrierbarkeit von $F (x)$ genügt es, die Stetigkeit von $F (x)$ in $[a, b]$ nachzuweisen. Dazu sei $x_{0} \in [a, b]$ und $ε > 0$ . Wir suchen ein $δ > 0$ , so daß für jedes $x \in [a, b]$ gilt: Wenn $| x - x_{0} | < δ$ , so $| F (x) - F (x_{0}) | < ε$ . Offenbar ist $f^{⋆}$ in $D : = [a, b] \times [c, d]$ beschränkt. Folglich gibt es ein $c^{⋆} \in I R$ , so daß $| f^{⋆} (x, y) | < c^{⋆}$ für alle $(x, y) \in D$ . Nach Voraussetzung sind $φ, ψ$ in $[a, b]$ stetig. Damit gilt: Für jedes $ε^{'} > 0$ gibt es ein $δ^{'} > 0,$ so daß für alle $x \in [a, b]$ gilt: wenn $| x - x_{0} | < δ^{'}$ , so $| φ (x) - φ (x_{0}) | < ε^{'}$ und $| ψ (x) - ψ (x_{0}) | < ε^{'}$ . Sei o.B.d.A. $c < φ (x_{0}) < ψ (x_{0}) < d$ (falls $φ (x_{0}) = ψ (x_{0})$ , dann vereinfacht sich der Beweis) und $ε^{'}$ so klein, daß $c < φ (x_{0}) - ε^{'} < φ (x_{0}) + ε^{'} < ψ (x_{0}) - ε^{'} < ψ (x_{0}) + ε^{'} < d$ . Der Einfachheit halber setzen wir jetzt

$c : = c_{0}, φ (x_{0}) - ε^{'} : = c_{1}, φ (x_{0}) + ε^{'} : = c_{2}, ψ (x_{0}) - ε^{'} : = c_{3}, ψ (x_{0}) + ε^{'} : = c_{4}, d : = c_{5}$ (vgl. Abb. auch 10.6).

Es ist

$| F (x) - F (x_{0}) | = | \int_{c}^{d} f^{⋆} (x, y) d y - \int_{c}^{d} f^{⋆} (x_{0}, y) d y |$

$= | \int_{c}^{d} (f^{⋆} (x, y) - f^{⋆} (x_{0}, y)) d y |$

$\leq \int_{c}^{d} \underset{: = g (y)}{\underset{︸}{| f^{⋆} (x, y) - f^{⋆} (x_{0}, y) |}} d y$

$= \int_{c_{0}}^{c_{1}} g (y) d y + \dots + \int_{c_{4}}^{c_{5}} g (y) d y,$

wobei $g (y) : = | f^{⋆} (x, y) - f^{⋆} (x_{0}, y) |$ .

Aufgrund der Definition von $f^{⋆}$ gilt:

für

y \in [c_{0}, c_{1}]

bzw.

y \in [c_{4}, c_{5}]

ist

f^{⋆} (x, y) = f^{⋆} (x_{0}, y) = 0

für

y \in [c_{1}, c_{2}]

bzw.

y \in [c_{3}, c_{4}]

ist

g (y) \leq 2 c^{⋆},

und

für

y \in [c_{2}, c_{3}]

ist

g (y) < ε^{'}

, falls

| x - x_{0} | < δ^{'}

Daraus erhält man

$| F (x) - F (x_{0}) | = \int_{c_{0}}^{c_{1}} \underset{= 0}{\underset{︸}{g (y)}} d y + \int_{c_{1}}^{c_{2}} \underset{< 2 c^{⋆}}{\underset{︸}{g (y)}} d y + \int_{c_{2}}^{c_{3}} \underset{< ε^{'}}{\underset{︸}{g (y)}} d y + \int_{c_{3}}^{c_{4}} \underset{< 2 c^{⋆}}{\underset{︸}{g (y)}} d y + \int_{c_{4}}^{c_{5}} \underset{= 0}{\underset{︸}{g (y)}} d y$

$< 2 c^{⋆} (\underset{= ε^{'}}{\underset{︸}{c_{2} - c_{1}}}) + ε^{'} (c_{3} - c_{2}) + 2 c^{⋆} (\underset{= ε^{'}}{\underset{︸}{c_{4} - c_{3}}})$

$= ε^{'} (\underset{: = c^{⋆ ⋆}}{\underset{︸}{4 c^{⋆} + c_{3} - c_{2}}}) = ε^{'} c^{⋆ ⋆} < ε,$

falls $ε^{'} < \frac{ε}{c^{⋆ ⋆}}$ und $| x - x_{0} | < δ^{'} : = δ$ . Folglich ist $F (x)$ in $[a, b]$ stetig. <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Mit Hilfe dieses Satzes läßt sich das Doppelintegral über einfache Bereiche wie folgt definieren.

Definition. (Integral über einfachen Bereichen)

Es sei $B$ ein einfacher Bereich und $D$ ein entsprechender Rechteckbereich, so daß $B \subseteq D$ . $f (x, y) : B \to I R$ sei in $B$ stetig und $f^{⋆}$ wie oben definiert.

$f$ ist in $B$ integrierbar =Df $f^{⋆}$ ist in $D$ integrierbar, und

\iint_{B} f (x, y) d x d y : = \iint_{D} f^{*} (x, y) d x d y .

$\iint_{B} f (x, y) d x d y$ heißt dann Doppelintegral (oder kurz Integral ) über $B$ .

Bemerkung. Die obige Definition des Integrals über einfachen Bereichen erfaßt nur einen Spezialfall, gewöhnlich wird das Integral allgemeiner definiert, worauf wir hier allerdings verzichten.

Ist $f (x, y)$ in dem einfachen Bereich $B$ stetig und nicht negativ, dann wird der räumlichen Punktmenge $M = {(x, y, z) : (x, y) \in B u n d 0 \leq z \leq f (x, y, z)}$ durch $V : = \iint_{B} f (x, y) d x d y$ ein Volumen zugeordnet (siehe Abb. 10.7).

Satz 10.5 $($ iterierte Integrale über einfachen Bereichen $)$

$(1)$

Es sei

B : = {(x, y) : a \leq x \leq b

und

φ (x) \leq y \leq ψ (x)}

ein

x

-einfacher Bereich und

f (x, y)

sei in

B

stetig. Dann ist

(f (x, y)

B

integrierbar und

)

\iint_{B} f (x, y) d x d y = \int_{a}^{b} (\int_{φ (x)}^{ψ (x)} f (x, y) d y) d x .

$(2)$

Es sei

B_{1} : = {(x, y) : φ_{1} (y) \leq x \leq ψ_{1} (y)

und

c \leq y \leq d}

ein

y

-einfacher Bereich und

f (x, y)

sei in

B_{1}

stetig. Dann ist

(f (x, y)

B_{1}

integrierbar und

)

\iint_{B_{1}} f (x, y) d x d y = \int_{c}^{d} (\int_{φ_{1} (y)}^{ψ_{1} (y)} f (x, y) d x) d y .

Beweis. (1). Es sei $D : = [a, b] \times [c, d], B \subseteq D$ und

$f^{*} (x, y) = {\begin{matrix} 0, für c \leq y < φ (x) \\ f (x . y), für φ (x) \leq y \leq \\ 0, für ψ (x) < y \leq d . \end{matrix} ψ (x),$

Für jedes fixierte $x \in [a, b]$ gilt dann

$\int_{a}^{b} f^{⋆} (x, y) d y = \int_{φ (x)}^{ψ (x)} f^{⋆} (x, y) d y .$

Daraus erhält man (mit Hilfe von Satz 10.4)

\begin{array}{l} \iint_{B} f (x, y) d x d y & = & \iint_{D} f^{*} (x, y) d x d y \\ = & \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f^{*} (x, y) d y) d x \\ = & \int_{a}^{b} (\int_{φ (x)}^{ψ (x)} f (x, y) d y) d x \end{array}

(2) wird analog bewiesen. <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Beispiele.

1. Volumen eines Zylinders mit dem Radius $r$ und der Höhe $h$ (siehe Abb. 10.8).

PICT

Es ist $B : = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq r^{2}}$ und damit

$y_{1} : = ψ (x) = \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ und $y_{2} : = φ (x) = - \sqrt{r^{2} - x^{2}}$

für $- r \leq x \leq r$ . Also

$B = {(x, y) : - r \leq x \leq r$ und $φ (x) \leq y \leq ψ (x)}$ .

Für $f (x, y) : = h + x + y$ ist $f$ in $B$ stetig, und somit gilt

\begin{array}{l} V & = & \iint_{B} f (x, y) d x d y = \int_{- r}^{r} (\int_{φ (x)}^{ψ (x)} f (x, y) d y) d x \\ = & \int_{- r}^{r} (\int_{φ (x)}^{ψ (x)} (h + x + y) d y) d x = \int_{- r}^{r} {[(h + x) \cdot y + \frac{y^{2}}{2}]}_{φ (x)}^{ψ (x)} d x \\ = & \int_{- r}^{r} 2 (h + x) \cdot \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x + \frac{1}{2} \int_{- r}^{r} \underset{= 0}{\underset{︸}{(ψ {(x)}^{2} - φ {(x)}^{2})}} d x \\ = & r^{2} π h . \end{array}

(Die Berechnung der beiden letzten Integrale bleibt als Übungsaufgabe.)

2. Das Volumen einer Halbkugel mit dem Radius $r$ .

PICT

Sei $B$ wie im vorhergehenden Beispiel definiert und $f$ durch $f (x, y) = \sqrt{r^{2} - x^{2} - y^{2}}$ gegeben ( $f$ beschreibt den oberen Teil der Kugeloberfläche). Offenbar ist $f$ in $B$ stetig, folglich gilt:

\begin{array}{l} V & = & \iint_{B} f (x, y) d x d y = \int_{- r}^{r} (\int_{φ (x)}^{ψ (x)} f (x, y) d y) d x \\ = & \int_{- r}^{r} (\int_{φ (x)}^{ψ (x)} \sqrt{r^{2} - x^{2} - y^{2}} d y) d x = \frac{2}{3} r^{3} π . \end{array}

(Die Auswertung des letzten Integrals bleibt als Übungsaufgabe.)

Integrale über „komplizierteren“ Bereichen

Definition. (Doppelintegral )

Es seien $B_{1}, \dots, B_{k}$ $x$ -einfache bzw. $y$ -einfache Bereiche, die höchstens Randpunkte gemeinsam haben, und es sei $B = ⋃_{i = 1}^{k} B_{i}$ . Weiterhin sei $f (x, y)$ im Inneren von jedem $B_{i}$ stetig.

Dann vereinbaren wir: $\iint_{B} f (x, y) d x d y : = \sum_{i = 1}^{k} \iint_{B_{i}} f (x, y) d x d y .$

$\iint_{B} f (x, y) d x d y$ heißt Doppelintegral (oder kurz Integral ) von $f$ über $B$ .

Bereiche $B$ dieser Art könnten z.B. folgendermaßen aussehen.

PICT

10.2 Dreifachintegrale

Dreifachintegrale sind völlig analog zu Doppelintegralen definiert. Dazu seien $[a_{1}, b_{1}], [a_{2}, b_{2}], [a_{3}, b_{3}]$ Intervalle in $I R$ , $D$ sei der Quader $D : = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{3}, b_{3}]$ , und $f (x, y, z) : D \to I R$ sei in $D$ definiert und beschränkt. Eine Zerlegung $\bar{�?��}$ von $D$ entsteht durch Zerlegungen ${\bar{�?��}}_{ν} : = (a_{0}^{ν}, \dots, a_{n_{ν} + 1}^{ν})$ von $[a_{ν}, b_{ν}], ν = 1, \dots, 3$ . Dadurch entstehen kleinere Quader

$D_{i j k} : = [a_{i}^{1}, a_{i + 1}^{1}] \times [a_{j}^{2}, a_{j + 1}^{2}] \times [a_{k}^{3}, a_{k + 1}^{3}]$ .

Wegen der Beschränktheit von $f$ in $D$ existieren insbesondere $h_{i j k} : = inf_{\bar{x} \in D_{i j k}} f (\bar{x})$ und $H_{i j k} : = sup_{\bar{x} \in D_{i j k}} f (\bar{x})$ . Damit lassen sich wie früher Unter- und Obersummen definieren, wobei $D_{i j k}$ wieder für den Quader selbst und auch für dessen Rauminhalt steht.

Definition. (Untersumme, Obersumme) (1)

{\underline{S}}_{f} (\bar{�?��})

heißt Untersumme von

f

bei der Zerlegung

\bar{�?��}

=Df

{\underline{S}}_{f} (\bar{�?��}) : = \sum_{i = 0}^{n_{1}} \sum_{j = 0}^{n_{2}} \sum_{k = 0}^{n_{3}} D_{i j k} \cdot h_{i j} .

(2)

{\overline{S}}_{f} (\bar{�?��})

heißt Obersumme von

f

bei der Zerlegung

\bar{�?��}

=Df

{\overline{S}}_{f} (\bar{�?��}) : = \sum_{i = 0}^{n_{1}} \sum_{j = 0}^{n_{2}} \sum_{k = 0}^{n_{3}} D_{i j k} \cdot H_{i j} .

Dies sind Summen von 4-dimensionalen Quadern mit der 3-dimensionalen „Grundfläche“ $D_{i j k}$ und der Höhe $h_{i j k}$ bzw. $H_{i j k}$ .

Im folgenden sei $D$ der Quader $D : = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{3}, b_{3}]$ und $f (x, y, z) : D \to I R$ . Dann gilt analog wie im ein- und zweidimensionalen Fall der folgende Satz, der die Grundlage für die Definition des Dreifachintegrals liefert (hierbei ist $D$ wieder als Quader und auch als dessen Rauminhalt zu verstehen).

Satz 10.6 Es sei $f$ in $D$ definiert und beschränkt und $\bar{�?��}, {\bar{�?��}}^{'}, {\bar{�?��}}_{1}, {\bar{�?��}}_{2}$ seien beliebige Zerlegungen von $D$ . Dann gilt $:$

$(1)$ ${\underline{S}}_{f} (\bar{�?��}) \leq {\overline{S}}_{f} (\bar{�?��}) .$

$(2)$

D \cdot inf_{\bar{x} \in D} f (\bar{x}) \leq {\underline{S}}_{f} (\bar{�?��})

und

{\overline{S}}_{f} (\bar{�?��}) \leq D \cdot sup_{\bar{x} \in D} f (\bar{x})

$(4)$ Es ist stets ${\underline{S}}_{f} ({\bar{�?��}}_{1}) \leq {\overline{S}}_{f} ({\bar{�?��}}_{2}) .$

Beweis. Der Beweis verläuft analog zu dem des Satzes 10.1 <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Definition. (Unterintegral, Oberintegral )

$\underset{D}{\underline{∭}} f (x, y, z) d x d y d z : = \sup {{\underline{S}}_{f} (\bar{z}) : \bar{z} Zerlegung von D}$ (Unterintegral von $f$ in $D$ ).

$\bar{\underset{D}{∭}} f (x, y, z) d x d y d z : = \inf {{\bar{S}}_{f} (\bar{z}) : \bar{z} Zerlegung von D}$ (Oberintegral von $f$ in $D$ ).

Bemerkung. Der Einfachheit halber schreiben wir hierfür auch $\int_{\overline{D}}^{} f (\bar{x}) d \bar{x}$ bzw. $\int_{D}^{\underline{}} f (\bar{x}) d \bar{x}$ . Nach Definition des Unter- und Oberintegrals gilt offenbar $\int_{\overline{D}}^{} f (\bar{x}) d \bar{x} \leq \int_{D}^{\underline{}} f (\bar{x}) d \bar{x}$ .

Definition. (Integral über Quadern) Es sei $D$ ein dreidimensionaler Quader und $f (x, y, z) : = f (\bar{x})$ in $D$ definiert und beschränkt. $f$ ist in $D$ integrierbar =Df $\int_{\overline{D}}^{} f (\bar{x}) d \bar{x} = \int_{D}^{\underline{}} f (\bar{x}) d \bar{x}$ . Der gemeinsame Wert von Unter- und Oberintegral heißt Riemann-Integral oder Dreifachintegral oder kurz Integral von $f$ in $D$ .

Bez. $\underset{D}{∭} f (x, y, z) d x d y d z : = \int_{D} f (\bar{x}) d \bar{x} .$

Satz 10.7 $($ dreifach iterierte Integrale über Quadern $)$ Sei $D = [a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}] \times [a_{3}, b_{3}]$ und $f (x, y, z)$ in $D$ integrierbar. Ist $f (x, y, z)$ für jedes fixierte $x \in [a_{1}, b_{1}]$ (als Funktion von $x, y$ ) in $[a_{2}, b_{2}] \times [a_{3}, b_{3}] : = D^{'}$ integrierbar und $F (x) : = \iint_{D'} f (x, y, z) d y d z$ (als Funktion von $x$ ) in $[a_{1}, b_{1}]$ integrierbar, dann ist $\underset{D}{∭} f (x, y, z) d x d y d z = \int_{a_{1}}^{b_{1}} (\iint_{D'} f (x, y, z) d y d z) d x .$

Beweis. Den Beweis führt man analog zu Satz 10.3 <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Korollar. Ist $D = [a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}] \times [a_{3}, b_{3}]$ und $f (x, y, z)$ in $D$ stetig, dann ist ( $f$ in $D$ integrierbar und) $\underset{D}{∭} f (x, y, z) d x d y d z = \int_{a_{1}}^{b_{1}} (\int_{a_{2}}^{b_{2}} (\int_{a_{3}}^{b_{3}} f (x, y, z) d z) d y) d x .$

Beweis. Der Beweis folgt sofort aus den Sätzen 10.7 und 10.3 <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Einfache Bereiche in ${I R}^{3}$

Es sei $[a_{1}, b_{1}]$ ein Intervall in $I R$ , $φ_{1}, ψ_{1} : [a_{1}, b_{1}] \to I R$ seien in $[a_{1}, b_{1}]$ stetig, und es sei $φ_{1} (x) \leq ψ_{1} (x)$ für alle $x \in [a_{1}, b_{1}]$ . Dann ist

$B^{'} : = {(x, y) : a_{1} \leq x \leq b_{1}, φ_{1} (x) \leq y \leq ψ_{1} (x)}$

ein $x$ -einfacher Bereich in ${I R}^{2}$ (d.h. in der $(x, y)$ -Ebene). Weiterhin seien $φ_{2}, ψ_{2}$ stetige Funktionen von $B^{'}$ in $I R$ , und für alle $(x, y) \in B^{'}$ gelte stets $φ_{2} (x, y) \leq ψ_{2} (x, y)$ . Dann heißt

$B : = {(x, y, z) : a_{1} \leq x \leq b_{1}, φ_{1} (x) \leq y \leq ψ_{1} (x), φ_{2} (x, y) \leq z \leq ψ_{2} (x, y)}$

einfacher Bereich in ${I R}^{3}$ .

Da die Variablen $x, y, z$ hierbei gleichberechtigt sind, hätte man auch mit $y$ oder $z$ beginnen können. Die Entscheidung darüber, mit welcher der Variablen man beginnt, wird vernünftigerweise so getroffen, daß sich die anschließende Integration am einfachsten gestaltet.

Betrachtet man zunächst einen $y$ -einfachen Bereich $B^{'}$ , dann startet man mit einem Intervall $[a_{2}, b_{2}]$ und entsprechenden stetigen Funktionen $φ_{1}, ψ_{1} : [a_{2}, b_{2}] \to I R$ , so daß $φ_{1} (y) \leq x \leq ψ_{1} (y)$ für alle $y \in [a_{2}, b_{2}]$ . Dann ist

$B^{'} = {(x, y) : φ_{1} (y) \leq x \leq ψ_{1} (y), a_{2} \leq y \leq b_{2}}$ und

$B = {(x, y, z) : (x, y) \in B^{'}, φ_{2} (x, y) \leq z \leq ψ_{2} (x, y)} \subseteq {I R}^{3} .$

In der folgenden Abbildung ist $B^{'}$ ein $y$ -einfacher Bereich und $B$ ein einfacher dreidimensionaler Bereich.

PICT

Wir werden jetzt Dreifachintegrale auf einfachen Bereichen definieren. Dazu sei $D = [a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}] \times [a_{3}, b_{3}] \subseteq {I R}^{3}$ ein Quader und $B \subseteq D$ ein einfacher Bereich; o.B.d.A. gehen wir von einem $x$ -einfachen Bereich $B^{'}$ über $[a_{1}, b_{1}]$ aus. Sei $f (x, y, z) : = f (\bar{x})$ in $B$ definiert und stetig und

$f^{*} (\bar{x}) : = {\begin{matrix} f (\bar{x}), für \bar{x} \in B, \\ 0, für \bar{x} \in D ∖ B . \end{matrix}$

Dann gilt für jedes $x \in [a_{1}, b_{1}]$ :

wenn $a_{2} \leq y < φ_{1} (x)$ , so $f^{⋆} (\bar{x}) = 0,$ wenn $φ_{1} (x) \leq y \leq ψ_{1} (x)$ , so $f^{⋆} (\bar{x}) = f (\bar{x}),$ wenn $ψ_{1} (x) < y \leq b_{2}$ , so $f^{⋆} (\bar{x}) = 0$ .

Für jedes $y \in [a_{2}, b_{2}]$ erhält man:

wenn $a_{3} \leq z < φ_{2} (x, y)$ , so $f^{⋆} (\bar{x}) = 0,$ wenn $φ_{2} (x, y) \leq z \leq ψ_{2} (x, y)$ , so $f^{⋆} (\bar{x}) = f (\bar{x}),$ wenn $ψ_{2} (x, y) < z \leq b_{3}$ , so $f^{⋆} (\bar{x}) = 0$ .

Satz 10.8 Es sei $B$ ein einfacher Bereich $($ in ${I R}^{3})$ , $B \subseteq D : = [a_{1}, b_{1}] \times \dots [a_{3}, b_{3}]$ , und $f (x, y, z)$ sei in $B$ definiert und stetig. Dann ist $f^{⋆}$ in $D$ integrierbar, und es ist

$\underset{D}{∭} f^{*} (x, y, z) d x d y d z = \int_{a_{1}}^{b_{1}} (\int_{a_{2}}^{b_{2}} (\int_{a_{3}}^{b_{3}} f (x, y, z) d z) d y) d x .$

Beweisidee. Den Beweis führt man analog zum Satz 10.4. Aufgrund von Satz 10.7 genügt folgendes zu zeigen:

1. $f^{⋆}$ ist in $D$ integrierbar.

2. Für jedes fixierte $x \in [a_{1}, b_{1}]$ ist $f^{⋆} (x, y, z)$ (als Funktion von $x$ und $y$ ) in $[a_{2}, b_{2}] \times [a_{3}, b_{3}] : = D^{'}$ integrierbar.

3. $F (x) : = \iint_{D'} f^{*} (x, y, z) d y d z$ ist (als Funktion von $x$ ) in $[a_{1}, b_{1}]$ integrierbar.

Diese Behauptungen zeigt man durch ähnliche Überlegungen wie beim Beweis von Satz 10.3. <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>

Analog wie im vorhergehenden Abschnitt lassen sich jetzt Dreifachintegrale über einfachen Bereichen definieren.

Definition. (Dreifachintegral über einfachen Bereichen) Es sei $B$ ein einfacher Bereich und $D$ ein Quader, so daß $B \subseteq D$ . $f (x, y, z) : B \to I R$ sei in $B$ stetig und $f^{⋆}$ wie oben definiert. $f$ ist in $B$ integrierbar =Df $f^{⋆}$ ist in $D$ integrierbar, und

$\underset{B}{∭} f (x, y, z) d x d y d z : = \underset{D}{∭} f^{*} (x, y . z) d x d y d z .$

$\underset{B}{∭} f (x, y, z) d x d y d z$ heißt dann Dreifachintegral (oder kurz Integral ) von $f$ über $B$ .

Bemerkung. Völlig analog lassen sich auch $n$ -fache Integrale definieren.

Satz 10.9 $($ iterierte Integrale über einfachen Bereichen $)$ Es sei $B$ ein einfacher Bereich $($ in ${I R}^{3})$ und $φ_{1}, φ_{2}, ψ_{1}, ψ_{2}$ seien wie oben definiert. Ist $f (x, y, z)$ in $B$ stetig, dann ist $f$ in $B$ integrierbar, und es gilt: $\underset{B}{∭} f (x, y, z) d x d y d z = \int_{a}^{b} (\int_{φ_{1} (x)}^{ψ_{1} (x)} (\int_{φ_{2} (x, y)}^{ψ_{2} (x, y)} f (x, y, z) d z) d y) d x .$

Beweis. Den Beweis führt man analog wie im zweidimensionalen Fall, wir werden die Beweisidee skizzieren. Nach dem Korollar zu Satz Satz 10.7 ist $\underset{B}{∭} f (\bar{x}) d \bar{x} = \int_{a_{1}}^{b_{1}} (\int_{a_{2}}^{b_{2}} (\int_{a_{3}}^{b_{3}} f^{*} (\bar{x}) d z) d y) d x .$

Aufgrund der Definition von $f^{⋆}$ in $D$ gilt für jedes fixierte $z \in [a_{3}, b_{3}]$ :

$a_{3} \leq z < φ_{2} (x, y) \Rightarrow f^{⋆} (\bar{x}) = 0,$

$φ_{2} (x, y) \leq z \leq ψ_{2} (x, y) \Rightarrow f^{⋆} (\bar{x}) = f (\bar{x}),$

$ψ_{2} < z \leq b_{3} \Rightarrow f^{⋆} (\bar{x}) = 0 .$

Folglich ist

$\int_{a_{3}}^{b_{3}} f^{⋆} (\bar{x}) d z = \int_{a_{3}}^{φ_{2} (x, y)} \underset{= 0}{\underset{︸}{f^{⋆} (\bar{x})}} d z + \int_{φ_{2} (x, y)}^{ψ_{2} (x, y)} f^{⋆} (\bar{x}) d z + \int_{ψ_{2} (x, y)}^{b_{3}} \underset{= 0}{\underset{︸}{f^{⋆} (\bar{x})}} d z$

$= \int_{φ_{2} (x, y)}^{ψ_{2} (x, y)} \underset{= f (\bar{x})}{\underset{︸}{f^{⋆} (\bar{x})}} d z : = G^{⋆} (x, y) .$

Analog erhält man für jedes feste $y \in [a_{2}, b_{2}]$ :

$\int_{a_{2}}^{b_{2}} (\int_{φ_{2} (x, y)}^{ψ_{2} (x, y)} f^{⋆} (\bar{x}) d z) d y = \int_{a_{2}}^{b_{2}} G^{⋆} (x, y) d y$

$= \int_{a_{2}}^{φ_{1} (x)} G^{⋆} (x, y) d y + \int_{φ_{1} (x)}^{ψ_{1} (x)} G^{⋆} (x, y) d y + \int_{ψ_{1} (x)}^{b_{2}} G^{⋆} (x, y) d y$

$= \int_{φ_{1} (x)}^{ψ_{1} (x)} G^{⋆} (x, y) d y$

$= \int_{φ_{1} (x)}^{ψ_{1} (x)} (\int_{φ_{2} (x, y)}^{ψ_{2} (x, y)} \underset{= f (\bar{x})}{\underset{︸}{f^{⋆} (\bar{x}) d z}}) d y .$

Insgesamt ergibt sich also

\begin{array}{l} \underset{B}{∭} f (\bar{x}) d \bar{x} & = & \int_{a_{1}}^{b_{1}} (\int_{a_{2}}^{b_{2}} (\int_{a_{3}}^{b_{3}} f^{*} (\bar{x}) d z) d y) d x \\ = & \int_{a_{1}}^{b_{1}} (\int_{φ_{1} (x)}^{ψ_{1} (x)} (\int_{φ_{2} (x, y)}^{ψ_{2} (x, y)} f (\bar{x}) d z) d y) d x . \end{array}

Bemerkung. 1. Als Volumen eines dreidimensionalen einfachen Bereiches $B$ , der wie in den vorhergehenden Untersuchungen definiert ist, ergibt sich dann

\begin{array}{l} V & = & \int_{a_{1}}^{b_{1}} (\int_{φ_{1} (x)}^{ψ_{1} (x)} (ψ_{2} (x, y) - φ_{2} (x, y)) d y) d x \\ = & \int_{a_{1}}^{b_{1}} (\int_{φ_{1} (x)}^{ψ_{1} (x)} (\int_{φ_{2} (x, y)}^{ψ_{2} (x, y)} 1 d z) d y) d x \\ = & \underset{B}{∭} 1 d x d y d z = \underset{B}{∭} d x d y d z . \end{array}

(Hierbei ist auf $B$ ebenfalls eine Funktion $f (\bar{x})$ definiert, nämlich $f (\bar{x}) = 1$ .)

2. Ist $B$ abermals ein einfacher dreidimensionaler Bereich, in dem eine (physikalische) Masse verteilt ist, und gibt die in $B$ stetige Funktion $f (\bar{x})$ die Masseverteilung an, dann liefert $\underset{B}{∭} f (\bar{x}) d \bar{x}$ die in $B$ befindliche Gesamtmasse.

Beispiel.

In einem aufrechtstehenden Zylinder $B$ mit dem Radius $r$ und der Höhe $h$ sei eine Masse verteilt, deren Dichte nur von der Niveauhöhe im Zylinder abhängt. Insbesondere sei $f (x, y, z) : = h - z$ die Funktion, die die Masseverteilung angibt. (Auf der Niveauhöhe $h$ herrscht eine Massendichte von $0$ , und auf der Höhe null die Dichte $h$ ).

Es soll die Gesamtmasse in dem Zylinder berechnet werden.

$B$ wird definiert durch den $x$ -einfachen Bereich

$B^{'} : = {(x, y) : - r \leq x \leq r, φ_{1} (x) \leq y \leq ψ_{1} (x)},$

wobei $φ_{1} (x) = - \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ und $ψ_{1} (x) = \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ .

Schließlich ist

$B = {(x, y, z) : (x, y) \in B^{'}, φ_{2} (x, y) \leq z \leq ψ_{2} (x, y)}$

mit $φ_{2} (x, y) = 0$ und $ψ_{2} (x, y) = h$ .

Dann gilt

\begin{array}{l} M & = & \underset{B}{∭} f (x, y, z) d x d y d z = \int_{- r}^{r} (\int_{φ_{1} (x)}^{ψ_{1} (x)} (\int_{φ_{2} (x, y)}^{ψ_{2} (x, y)} (h - z) d z) d y) d x \\ = & \int_{- r}^{r} (\int_{φ_{1} (x)}^{ψ_{1} (x)} \underset{= \frac{h^{2}}{2}}{\underset{︸}{{[h z - \frac{z^{2}}{2}]}_{φ_{2} (x, y)}^{ψ_{2} (x, y)}}} d y) d x = \frac{h^{2}}{2} \int_{- r}^{r} (\int_{φ_{1} (x)}^{ψ_{1} (x)} d y) d x \\ = & \frac{h^{2}}{2} \int_{- r}^{r} 2 \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x = h^{2} \int_{- r}^{r} \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x \\ = & r^{2} π h \cdot \frac{h}{2} = \frac{r^{2} π h^{2}}{2} . \end{array}

Schwerpunkte für die Wiederholung von Kapitel 10

Motivierung von Mehrfachintegralen,
Definitionen: Zerlegung eines Rechtecks bzw. eines Quaders, Untersumme, Obersumme,
Beziehungen zwischen Ober- und Untersummen (Satz 10.1),
Definitionen: Unterintegral, Oberintegral, Integral (über Rechtecken bzw. Quadern),
Definitionen: einfacher Bereich, Integrale über einfachen Bereichen,
Berechnung von Doppel- und Dreifachintegralen.