Satz 3.5 $(a_{n})$ konvergiert gegen $a \Leftrightarrow$ jede Teilfolge von $(a_{n})$ konvergiert gegen $a$ .

Beweis. ( $\to$ ) Sei $a_{n} \to a$ und $(a_{n_{i}})$ eine Teilfolge von $(a_{n})$ . Wegen $a_{n} \to a$ gilt: Für jedes $ε > 0$ existiert ein $m_{0}$ , so daß für jedes $n \geq m_{0}$ : $| a_{n} - a | < ε .$ Das gilt insbesondere für alle $n_{i} \geq m_{0}$ . Offenbar ist $n_{i} \geq i$ und damit $| a_{n_{i}} - a | < ε$ für alle $i \geq m_{0} .$ ( $\leftarrow$ ) trivial, denn $(a_{n})$ ist eine spezielle Teilfolge von sich selbst. <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>