Satz 3.6 Ist $a$ ein Häufungspunkt der Folge $(a_{n})$ , dann existiert eine Teilfolge von $(a_{n})$ , die gegen $a$ konvergiert.

Beweis. Sei $a$ ein Häufungspunkt von $(a_{n}) .$ Dann gilt: Für jedes $ε > 0$ und für jedes $n_{0}$ existiert ein $n \geq n_{0}$ , so daß $| a_{n} - a | < ε .$ Für $n = 1, 2, 3, \dots$ wählen wir $ε_{n} = \frac{1}{n} .$ Damit erhält man:

für $ε_{1} = 1 und n_{0} = 1 gibt es ein n_{1} \geq n_{0}, so daß | a_{n_{1}} - a | < ε_{1} = 1;$

für $ε_{2} = \frac{1}{2} und n_{0} = n_{1} + 1 gibt es ein n_{2} \geq n_{0}, so daß | a_{n_{2}} - a | < ε_{2} = \frac{1}{2};$

für $ε_{3} = \frac{1}{3} und n_{0} = n_{2} + 1 gibt es ein n_{3} \geq n_{0}, so daß | a_{n_{3}} - a | < ε_{3} = \frac{1}{3};$ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Wegen $n_{0} : = 0 < n_{1} < n_{2} < \dots$ ist $(a_{n_{i}})$ eine Teilfolge von $(a_{n})$ , und $(a_{n_{i}})$ konvergiert offenbar gegen $a$ . <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>