Definition. (Limes superior, Limes inferior) Es sei $(a_{n})$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen und $H (a_{n})$ die Menge aller Häufungspunkte (oder Limites von konvergenten Teilfolgen) von $(a_{n}) .$ $\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} (: = \underset{n \to \infty}{\lim^{¯}} a_{n}) := sup H (a_{n}) .$ $sup H (a_{n})$ heißt Limes superior oder oberer Limes von $(a_{n})$ [:= größter Häufungspunkt in $H (a_{n})$ ]. $\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} (: = \underset{n \to \infty}{\lim_{_}} a_{n}) := inf H (a_{n}), .$ $inf H (a_{n})$ heißt Limes inferior oder unterer Limes von $(a_{n})$ [:= kleinster Häufungspunkt in $H (a_{n})$ ].

Bemerkung. Die Definition ist korrekt, denn (1) $H (a_{n}) \neq \emptyset$ , da $(a_{n})$ beschränkt ist. (2) $H (a_{n})$ ist beschränkt, denn $(a_{n})$ ist beschränkt; folglich existieren $sup H (a_{n})$ und $inf H (a_{n})$ . (3) Mit Satz 2.10 läßt sich zeigen, daß $sup H (a_{n}) = max H (a_{n})$ und $inf H (a_{n}) = min H (a_{n})$ . (Übungsaufgabe !)