Satz 3.8 Eine monotone Folge ist konvergent gdw sie beschränkt ist.

Beweis. ( $\to$ ) Konvergente Folgen sind beschränkt (nach Satz 3.3; hierzu ist die Monotonie nicht notwendig).

( $\leftarrow$ ) Sei $(a_{n})$ monoton wachsend und beschränkt (für „fallend“ verläuft der Beweis analog). z.z.: $(a_{n})$ ist konvergent. Sei $a = sup {a_{n} : n \in I N} .$ Behauptung: $a_{n} \to a$ . Sei $ε > 0 .$ Nach Voraussetzung ist $a$ kleinste obere Schranke von $(a_{n})$ , d.h., ist $a^{'} < a$ , dann ist $a^{'}$ keine obere Schranke von $(a_{n})$ . Sei $a^{'} = a - ε$ , dann existiert ein Folgeglied $a_{n_{0}}$ , so daß $a - ε < a_{n_{0}}$ . Da $(a_{n})$ monoton wächst, gilt für alle $n \geq n_{0}$ :

$a - ε < a_{n_{0}} \leq a_{n} \leq a,$ also $| a_{n} - a | < ε$ für $n \geq n_{0} .$ <mi
>P</mi><mi >I</mi><mi >C</mi><mi >T</mi>