Satz 3.12 Zu jeder reellen Zahl $a$ existiert eine Cauchyfolge $(a_{n})$ von rationalen Zahlen, so daß $lim a_{n} = a .$

Beweis. (Idee) Sei $a \in I R .$ Man konstruiert eine Intervallschachtelung $([a_{n}, b_{n}])$ von rationalen Zahlen mit $a_{n} \leq a \leq b_{n}$ und $b_{n} - a_{n} = \frac{1}{2^{n}} (b_{0} - a_{0}) .$ Dazu seien $a_{0}, b_{0}$ beliebige rationale Zahlen mit $a_{0} < a \leq b_{0} .$ Weiterhin seien $a_{n}, b_{n}$ (nach Induktionsvoraussetzung) schon mit den geforderten Eigenschaften gegeben. Ist $c_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2},$ dann ist $c_{n + 1} \in l Q .$ Jetzt definieren wir $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ wie folgt:

$a_{n + 1} : = c_{n + 1} und b_{n + 1} : = b_{n},$ falls $c_{n + 1} < a$ und $a_{n + 1} : = a_{n} und b_{n + 1} : = c_{n + 1},$ falls $c_{n + 1} \geq a .$

Behauptung: $a_{n} \to a$ (und $b_{n} \to b$ ).

Es ist $a_{n} \leq a \leq b_{n} \Rightarrow a - a_{n} \leq b_{n} - a_{n} < \frac{1}{2^{n}} (b_{0} - a_{0}) \underset{n \to \infty}{\to} 0 \Rightarrow a_{n} \to a .$ <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>