Definition. (grenzwertgleich) Es seien $\left(a_n\right),\left(b_n\right)$ Cauchyfolgen. $\left(a_n\right)$ und $\left(b_n\right)$ sind grenzwertgleich =Df

$\left(\right.1+\frac{1}{n}{\left)\right.}^n,\left(\right.1+\frac{1}{n}{\left)\right.}^{n+1}$ sind z.B. grenzwertgleiche Cauchyfolgen im Bereich der rationalen Zahlen.

Bemerkung. „Grenzwertgleich“ ist eine Äquivalenzrelation in der Menge aller Cauchyfolgen von rationalen Zahlen. (Beweis mit Satz 3.10 trivial).

Dabei ist der Begriff Äquivalenzrelation wie folgt definiert: