Definition. (reelle Zahlen) $a$ ist eine reelle Zahl =Df

Es gibt eine Cauchyfolge

(a_{n})

von rationalen Zahlen, so daß

a

die Äquivalenzklasse aller Cauchyfolgen von rationalen Zahlen ist, die mit

(a_{n})

grenzwertgleich sind.

Bez.:

a = ⟨ a_{n} ⟩ = {(b_{n}) : b_{n} \in l Q und (a_{n} - b_{n}) ist eine Nullfolge}

Jede Cauchyfolge $(b_{n})$ mit $(b_{n}) \in a = ⟨ a_{n} ⟩$ ist ein Repräsentant der Klasse $a$ . Die Menge der betrachteten Äquivalenzklassen heißt Menge der reellen Zahlen und wird mit $I R$ bezeichnet.

Beispielsweise ist $e = {(b_{n}) : b_{n} \in l Q und (b_{n}) ist mit ((1 + \frac{1}{n})^{n}) grenzwertgleich} .$

Damit $I R$ ein geordneter Körper wird, benötigen wir noch Rechenoperationen $+$ und $\cdot$ und eine Ordnungsrelation $<$ in $I R .$ Die Definitionen der Operationen und der Relation erfolgen mit Hilfe von Repräsentanten.