Satz 4.4 Es seien $\sum a_{i}, \sum b_{i}$ konvergent und $a, b \in I R$ . Dann ist $\sum (a \cdot a_{i} + b \cdot b_{i})$ konvergent und $\sum (a \cdot a_{i} + b \cdot b_{i}) = a \cdot \sum a_{i} + b \cdot \sum b_{i} .$

Beweis. Sei $S_{n}^{'} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i}, S_{n}^{″} = \sum_{i = 0}^{n} b_{i}$ und $S_{n} = \sum_{i = 0}^{n} (a \cdot a_{i} + b \cdot b_{i}) .$

Dann ist $S_{n} = a \cdot S_{n}^{'} + b \cdot S_{n}^{″} .$ Aus den Eigenschaften für konvergente Folgen (Satz 3.10) erhält man sofort die Behauptung. <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>