Satz 4.6 $($ Leibniz–Kriterium $)$ Ist $\sum a_{i}$ alternierend und $lim a_{i} = 0$ und ${(| a_{i} |)}_{i = 0, 1, 2, \dots}$ monoton fallend, dann ist $\sum a_{i}$ konvergent.

Beweis. Es sei o.B.d.A. $a_{0} > 0$ (anderenfalls betrachten wir $a_{0} + \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i}$ und $a_{1} > 0$ ). Weiterhin sei $| a_{i} | = α_{i} (> 0)$ . Dann ist $lim α_{i} = 0$ und $\sum a_{i} = \sum {(- 1)}^{i} \cdot α_{i} .$

Folglich gilt:

$| S_{n + k} - S_{n} | = | {(- 1)}^{n + 1} α_{n + 1} + \dots + {(- 1)}^{n + k} \cdot α_{n + k} |$

$= | {(- 1)}^{n + 1} (α_{n + 1} - α_{n + 2} + α_{n + 3} - α_{n + 4} \pm \dots + {(- 1)}^{k - 1} α_{n + k}) |$

$= \underset{= 1}{\underset{︸}{| {(- 1)}^{n + 1} |}} \cdot | α_{n + 1} - α_{n + 2} + α_{n + 3} - α_{n + 4} \pm \dots + {(- 1)}^{k - 1} α_{n + k} |$

$= | \underset{}{\underset{︸}{α_{n + 1} - α_{n + 2}}} + \underset{︸}{α_{n + 3} - α_{n + 4}} \pm \dots + {(- 1)}^{k - 1} α_{n + k} | : = (⋆)$

In Abhängigkeit von $k$ ist die Anzahl der Summanden $α_{i}$ in $(⋆)$ gerade bzw. ungerade. Nach Voraussetzung ist die Folge $(α_{i})$ monoton fallend, also $α_{n + 1} - α_{n + 2} \geq 0, \dots$ . Ist $k$ gerade, dann kann man die Summanden in $(⋆)$ paarweise zusammenfassen, und es ist

$(⋆ ⋆) : = (α_{n + 1} - α_{n + 2}) + (α_{n + 3} - α_{n + 4}) + \dots + (α_{n + k - 1} - α_{n + k}) \geq 0 .$

Ist $k$ ungerade, dann bleibt bei der paarweisen Zusammenfassung $α_{n + k}$ übrig, aber $α_{n + k}$ ist offensichtlich nicht negativ. Folglich ist auch in diesem Fall $(⋆ ⋆) \geq 0 .$

Andererseits ist

$(⋆ ⋆) = α_{n + 1} - \underset{\geq 0}{\underset{︸}{(α_{n + 2} - α_{n + 3})}} - \dots - \underset{\geq 0}{\underset{︸}{()}} \leq α_{n + 1} .$

Insgesamt gilt also

$0 \leq (⋆ ⋆) \leq α_{n + 1}$ und damit $| S_{n + k} - S_{n} | = | (⋆ ⋆) | \leq α_{n + 1} .$

Sei $ε > 0 .$ Wegen $α_{n} \to 0$ gibt es ein $n_{0},$ so daß für jedes $n \geq n_{0}$ : $| S_{n + k} - S_{n} | \leq α_{n + 1} < ε .$ $\Rightarrow$ $(S_{n}) = \sum a_{i}$ ist konvergent. <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>