Satz 4.7 Sei $\sum a_{i}$ eine Reihe mit $a_{i} \geq 0$ für jedes $i .$ Dann gilt $:$ $\sum a_{i}$ ist konvergent gdw die Folge der Partialsummen beschränkt ist.

Beweis. Es sei $S_{n} = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} .$ Zum Beweis benutzen wir Satz 3.8 (monotone Folgen sind konvergent gdw sie beschränkt sind).

( $\to$ ) $\sum a_{i}$ ist konvergent $\Rightarrow$ $(S_{n})$ konvergent $\Rightarrow$ $(S_{n})$ beschränkt.

( $\leftarrow$ ) Wegen $a_{i} \geq 0$ für jedes $i,$ ist $(S_{n})$ monoton wachsend. Ist außerdem $(S_{n})$ beschränkt, so ist $(S_{n}) = \sum a_{i}$ konvergent. <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>