Satz 4.9 $($ Wurzelkriterium $)$ Es sei $(a_{i})$ eine beliebige Folge. Dann gilt $:$

$(1)$

Existiert ein

q

mit

0 < q < 1

, so daß für jedes

i

gilt

:

\sqrt[i]{| a_{i} |} \leq q

, dann ist

\sum a_{i}

absolut konvergent.

(2)

Ist

\sqrt[i]{| a_{i} |} \geq 1

für alle

i,

dann ist

\sum a_{i}

divergent.

Beweis. (1). Es sei $0 < q < 1$ und $\sqrt[i]{| a_{i} |} \leq q \Rightarrow | a_{i} | \leq q^{i}$ . $\sum_{i = 0}^{\infty} q^{i}$ ist eine konvergente Majorante von $\sum | a_{i} |$ (geometrische Reihe). Folglich ist $\sum | a_{i} |$ (nach dem Majorantenkriterium) konvergent, und damit ist $\sum a_{i}$ absolut konvergent.

(2). Sei $\sqrt[i]{| a_{i} |} \geq 1 .$ Dann ist $| a_{i} | \geq 1$ und daher $(a_{i})$ keine Nullfolge. Folglich ist $\sum a_{i}$ divergent. <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>