Satz 4.11 In einer konvergenten Reihe können Klammern beliebig gesetzt werden, ohne das Konvergenzverhalten und den Wert der Reihe zu verändern. (D.h., für konvergente Reihen gilt das allgemeinste Assoziativgesetz.)

Beweis. Sei $\sum a_{n}$ konvergent, $\sum a_{n} = a,$ und sei $\sum b_{i}$ durch das Setzen von Klammern aus $\sum a_{n}$ entstanden. Weiterhin sei $S_{m} = \sum_{n = 0}^{m} a_{n}$ und

$S_{m}^{'} = \sum_{i = 0}^{m} b_{i} = \underset{: = b_{0}}{\underset{︸}{a_{0} + \dots + a_{n_{0}}}} + \dots + \underset{b_{m}}{\underset{︸}{a_{n_{m - 1} + 1} + \dots + a_{n_{m}}}} = S_{n_{m}} .$

Offenbar ist $(S_{m}^{'}) = (S_{n_{m}})$ eine Teilfolge von $(S_{m}) .$ Wegen $S_{m} \to a$ konvergiert auch $(S_{m}^{'})$ als Teilfolge von $(S_{m})$ gegen $a;$ also $S_{m}^{'} \to a$ $\Rightarrow \sum_{i = 0}^{\infty} b_{i} = a .$ <mi
>P</mi><mi
>I</mi><mi
>C</mi><mi
>T</mi>