Beweis. Sei ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ absolut konvergent, $\sum a_n=a$ und $f:IN\to IN$ eine Permutation von $IN.$ Behauptung: ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{f\left(n\right)}$ konvergiert gegen $a.$

z.z.: Für $\epsilon >0$ gibt es ein $n^{*},$ so daß für jedes $n\ge n^{*}$ gilt: $|a_{f\left(0\right)}+\cdots +a_{f\left(n\right)}-a|<\epsilon .$ Es sei

     $S_m={\sum }_{n=0}^m{a}_n,S_m^{\prime }={\sum }_{n=0}^m{a}_{f\left(n\right)}$ und $S_m^{″}={\sum }_{n=0}^m\left|a_n\right|.$

Nach Voraussetzung ist $\left(S_m^{″}\right)$ konvergent. Folglich gilt nach dem Cauchy–Kriterium: Es existiert ein $n_0,$ so daß für jedes $n\ge n_0$ und jedes $k\ge 1:$

     $\left|a_{n+1}\right|+\cdots +\left|a_{n+k}\right|<\frac{\epsilon }{2}.$

Da $k$ beliebig ist, erhält man daraus für je endlich viele $n_1,\dots ,n_l,$ die sämtlich größer als $n_0$ sind:

     $\left|a_{n_1}\right|+\cdots +\left|a_{n_l}\right|<\frac{\epsilon }{2}.$

Nach Voraussetzung gilt weiterhin: Es existiert ein $m_0,$ so daß für jedes $n\ge m_0:$

     $|S_n-a|<\frac{\epsilon }{2}.$

Sei $k_0=\left\{n_0,m_0\right\}.$ Da $f$ eine Permutation von $IN$ ist, kommen $0,1,\dots ,k_0$ unter den Elementen $f\left(0\right),f\left(1\right),f\left(2\right),\dots$ vor. Sei nun $n^{*}$ so groß gewählt, daß $0,1,\dots ,k_0$ schon unter den Elementen $f\left(0\right),\dots ,f\left(n^{*}\right)$ vorkommen. g.z.z.: für $m\ge n^{*}$ gilt: $|S_m^{\prime }-a|<\epsilon .$

     $S_m^{\prime }=a_{f\left(0\right)}+\cdots +a_{f\left(m\right)}=a_0+\cdots +a_{k_0}+a_{f\left(i_1\right)}+\cdots +a_{f\left(i_l\right)};$

wobei $\left\{f\left(i_1\right),\cdots ,f\left(i_l\right)\right\}=\left\{f\left(0\right),\dots ,f\left(m\right)\right\}\backslash \left\{0,\dots ,k_0\right\};$ insbesondere ist $f\left(i_j\right)>k_0$ für $j=1,\dots ,l.$

Dann ist

     $|S_m^{\prime }-a|=|a_0+\cdots +a_{k_0}+a_{f\left(i_1\right)}+\cdots +a_{f\left(i_l\right)}-a|$

         $\le |a_0+\cdots +a_{k_0}-a|+|a_{f\left(i_1\right)}+\cdots +a_{f\left(i_l\right)}|$

         $\le \underset{<\frac{\epsilon }{2}}{\underbrace{|S_{k_0}-a|}}+\underset{<\frac{\epsilon }{2}}{\underbrace{\left|a_{f\left(i_1\right)}\right|+\cdots +\left|a_{f\left(i_l\right)}\right|}}<\epsilon .$   $$