Korollar. Es sei ${\sum }_{i,j=0}^{\infty }{a}_{ij}$ eine Doppelreihe, $\phi :IN\to IN\times IN$ eine Bijektion, und für $\phi \left(\nu \right)=\left(i,j\right)$ sei $b_{\nu }:=a_{ij}$. Weiterhin sei jede Zeilenreihe ${\sum }_{j=0}^{\infty }{a}_{ij}$ absolut konvergent, ${\sum }_{j=0}^{\infty }\left|a_{ij}\right|:={\alpha }_i$, und die Reihe $\sum {\alpha }_i$ sei ebenfalls konvergent. Dann gilt$:$

  $\left(1\right)$ ${\sum }_{\nu =0}^{\infty }{b}_{\nu }$ ist absolut konvergent.

  $\left(2\right)$

Beweis. Es sei ${\sum }_{\nu =0}^n\left|b_{\nu }\right|$ eine Partialsumme von $\sum b_{\nu }$. Dann gibt es eine Zahl $k$, so daß alle Paare $\phi \left(0\right),\dots ,\phi \left(n\right)$ in der Menge $\left\{\left(i,j\right):i\le k,j\le k\right\}$ vorkommen. Folglich ist

     $${\displaystyle \sum _{\nu =0}^n\left|b_{\nu }\right|}\le {\displaystyle \sum _{i=0}^k{\displaystyle \sum _{j=0}^k\left|a_{ij}\right|}}\le {\displaystyle \sum _{i=0}^k\underset{=a_i}{\underbrace{{\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\left|a_{ij}\right|}}}}={\displaystyle \sum _{i=0}^k{a}_i\le {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{a}_i}\text{.}}$$

Dann ist die (monoton wachsende) Folge der Partialsummen von $\sum \left|b_{\nu }\right|$ nach oben beschränkt und folglich absolut konvergent. Damit sind alle Voraussetzungen von Satz 4.15 erfüllt und das Korollar bewiesen.   $$