Bemerkung. Man kann mit komplexen Zahlen im Prinzip rechnen wie mit reellen Zahlen, allerdings ist in $lC$ keine Ordnung definiert.

Wir haben uns schon überlegt, daß $\left\{\left(1,0\right),\left(0,1\right)\right\}$ eine Basis für den Vektorraum ${IR}^2$ bildet. Der Teilraum $\left\{x\cdot \left(1,0\right):x\in IR\right\}$ von ${IR}^2$ ist offenbar isomorph mit $IR$ (als 1-dimensionaler Vektorraum über $IR$). Daher identifizieren wir in Zukunft $\left(1,0\right)$ mit $1.$ Für $\left(0,1\right)$ schreibt man auch $i$ (nicht zu verwechseln mit natürlichen Zahlen $i$), so daß durch $\left\{1,i\right\}$ eine Basis für ${IR}^2$ gegeben ist.

Mit dieser Vereinbarung gilt

     $\left(a,b\right)=a\cdot \left(1,0\right)+b\cdot \left(0,1\right)=a\cdot 1+b\cdot i.$

Für $a\cdot 1$ bzw. für $b\cdot i$ schreiben wir kurz $a$ bzw. $ib.$ Damit erhält man eine geeignete Darstellung für komplexe Zahlen:

     $\left(a,b\right)=a+ib,\left(0,0\right)=0+i0:=0.$

Bez.: In $z=x+iy$ heißt $x$ Realteil ( := Re($z$) ) und $y$ Imaginärteil ( := Im($z$) ) von $z.$

Bemerkung. Aus der Definition der Multiplikation für komplexe Zahlen ergibt sich

     $i\cdot i=i^2=\left(0,1\right)\cdot \left(0,1\right)=\left(-1,0\right)=\left(-1\right)\cdot \left(1,0\right)=-1.$

und weiterhin

     $\left(a+ib\right)\cdot \left(c+id\right)=\left(a,b\right)\cdot \left(c,d\right)=\left(ac-bd,ad+bc\right)=ac-bd+i\left(ad+bc\right).$

Berechnet man das Produkt (formal) wie in einem Körper, so entsteht dasselbe Ergebnis:

     $\left(a+ib\right)\cdot \left(c+id\right)=a\cdot c+a\cdot id+ib\cdot c+\underset{i^2\cdot db}{\underbrace{ib\cdot id}}=ac-bd+i\cdot \left(ad+bc\right).$