Definition. (Konvergenzradius) Es sei $ρ$ eine nicht-negative reelle Zahl oder $ρ = \infty .$ $ρ$ heißt Konvergenzradius von $\sum a_{n} {(x - a)}^{n}$ =Df

Für jedes

x

gilt: Wenn

| x - a | < ρ

, so ist

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

absolut konvergent, und wenn

| x - a | > ρ

, so ist

\sum a_{n} {(x - a)}^{n}

divergent. (Hierbei soll immer gelten:

{x : | x - a | < \infty} = I R

bzw.

= l C

und

{x : | x - a | > \infty} = \emptyset .

)

Wir werden nun zeigen, daß Potenzreihen tatsächlich immer innerhalb eines Intervalls bzw. Kreises konvergieren und außerhalb divergieren (der Radius des Kreises erweist sich als Konvergenzradius).

Bemerkung. Im folgenden betrachten wir Potenzreihen in $l C .$ Wegen $I R \subseteq l C$ gelten die Resultate auch für $I R,$ falls die Koeffizienten $a_{n}$ und $a$ in $I R$ liegen.